Determine as equações na forma paramétrica e simétrica da reta que:
Passa pelos pontos C(4,0,-2) e D(4,0,5)

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta que passa pelos pontos C(4,0,-2) e D(4,0,5).
Conteúdo: geometria analítica no espaço.
O que vamos usar:
  • Cálculo do vetor diretor pela diferença entre dois pontos.
  • Forma paramétrica de uma reta em \mathbb{R}^3.
  • Forma simétrica da reta em \mathbb{R}^3, tratando componentes nulas do vetor diretor.

Passo 2

Calcular o vetor diretor \mathbf{v} da reta, subtraindo as coordenadas de C das de D:
\mathbf{v} = \overrightarrow{CD} = (4-4,\;0-0,\;5-(-2)) = (0,\;0,\;7).

Passo 3

Escrever as equações paramétricas da reta usando C como ponto-pivô e \mathbf{v} como direção. Seja t\in\mathbb{R}:
\begin{cases} x = 4 + 0\,t = 4,\\[6pt] y = 0 + 0\,t = 0,\\[6pt] z = -2 + 7\,t. \end{cases}]

Passo 4

Para a forma simétrica, note que as componentes v_x e v_y são zero, o que fixa x e y constantes, e só a componente z varia. Assim:
x = 4, \qquad y = 0, \qquad \frac{z - (-2)}{7} = t.
Ou, escrevendo de modo tradicional com frações iguais, ainda que as duas primeiras sejam degenera-das:
\frac{x-4}{0} \;=\;\frac{y-0}{0}\;=\;\frac{z+2}{7}.

Resposta

Equação paramétrica:
\begin{cases} x = 4,\\\ y = 0,\\\ z = -2 + 7\,t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Equação simétrica:
x = 4,\quad y = 0,\quad \frac{z+2}{7}\in\mathbb{R}.

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