- Determine as equações da linha elástica para a viga utilizando as coordenadas x . que é válida para
. EI é constante.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as equações da linha elástica (deflexão vertical
) de uma viga simplesmente apoiada em
e
de comprimento total
, sujeita a uma carga concentrada
no meio do vão (no ponto
). A rigidez à flexão é constante:
constante. A função
deve ser dada em duas regiões:
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado / figura:
- Comprimento total da viga:
. - Há apoios simples em
(esquerda, ) e (direita, ). - Força concentrada
aplicada no meio do vão, em . - Coordenada
é medida a partir do apoio esquerdo . - Rigidez à flexão constante:
constante. - Condições de contorno:
e . Continuidade de e de no ponto (momento é contínuo; cisalhamento sofre salto por causa de ).
Passo 2
Primeiro passo mecânico: calcular as reações nos apoios. Por simetria da carga concentrada no meio, as reações são iguais:
Explicação rápida por que: equilíbrio de forças verticais exige
e por simetria
, logo cada apoio fornece
.
Passo 3
Montar as expressões do momento fletor interno
em cada região (essas expressões virão das reações e da presença da carga concentrada).
- Para
(à esquerda da carga), tomando seção à distância do apoio esquerdo:
Motivação: a única força à esquerda que cria momento é
.
- Para
(à direita da carga), é conveniente usar simetria ou tomar seção a uma distância do apoio esquerdo e considerar a reação direita:
Observação: essas duas fórmulas são equivalentes à escrita com a carga interna (para
deve-se subtrair o efeito de
quando a seção corta a força), e mostram que
é contínuo em
.
Passo 4
A equação diferencial da linha elástica (pequenas deformações, vigas de Euler–Bernoulli) é
onde
é a deflexão vertical (positiva para baixo, dependendo da convenção),
é a curvatura aproximada e
é o momento fletor interno. Aqui
é o módulo de Young e
o momento de inércia da seção; juntos aparecem como
.
Vamos integrar essa equação duas vezes em cada região para obter
, introduzindo constantes de integração que serão encontradas pelas condições de contorno e de continuidade.
Passo 5
Resolver para a região 1:
.
A equação é
Integração uma vez:
onde
é constante de integração (associada à rotação na extremidade ou continuidade no meio). Integrando de novo:
com
outra constante de integração.
Passo 6
Aplicar as condições de contorno e simetria para determinar
e
.
Condição no apoio esquerdo:
Pela simetria da viga e da carga, a inclinação na seção central é zero:
Usando
e aplicando em
:
Logo
Passo 7
Substituir constantes em
. Como
e
,
Fatorando
para simplificar:
Portanto, para
,
Passo 8
Resolver para a região 2:
.
A equação é
Integrando uma vez:
Integrando novamente:
com
constantes que vamos determinar por continuidade e condição no apoio direito.
Passo 9
Usar condições de continuidade e contorno para
e
.
Condição de inclinação no meio (simetria):
Usando
em
:
logo
Condição de continuidade de deflexão no meio:
Calculando
pela expressão obtida:
Agora calcular
usando a forma geral e
; impondo igualdade resolve
. Fazendo as contas (detalhes algébricos mostrados abaixo) obtém-se
Resumo das constantes da região 2:
Passo 10
Substituir
e
em
. Temos
Fatorando
para deixar forma polinomial simples:
Portanto, para
,
Passo 11
Forma simétrica mais compacta (opcional, útil em prova): por simetria da viga a deflexão à direita pode ser escrita em termos de
de mesma forma que a esquerda. Assim outra forma equivalente, mais limpa, é:
- Para
:
- Para
:
Essa segunda forma deixa explícita a simetria
.
Passo 12
Verificações rápidas (consistência):
- Em
e tem-se (condições de apoio) — pode ser verificado substituindo. - Em
os dois ramos têm o mesmo valor (sinal depende da convenção de eixo positivo), e a inclinação é zero — isso confirma continuidade e simetria.