1. Determine as equações da linha elástica para a viga utilizando as coordenadas x . que é válida para 0 \leq x<\frac{L}{2} \mathrm{e} \frac{L}{2} \leq x \leq L. EI é constante.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as equações da linha elástica (deflexão vertical y(x)) de uma viga simplesmente apoiada em A e B de comprimento total L, sujeita a uma carga concentrada P no meio do vão (no ponto x=\tfrac{L}{2}). A rigidez à flexão é constante: EI= constante. A função y(x) deve ser dada em duas regiões: 0 \leq x < \tfrac{L}{2} e \tfrac{L}{2} \leq x \leq L.
Informações relevantes extraídas do enunciado / figura:
  • Comprimento total da viga: L.
  • Há apoios simples em A (esquerda, x=0) e B (direita, x=L).
  • Força concentrada P aplicada no meio do vão, em x=\tfrac{L}{2}.
  • Coordenada x é medida a partir do apoio esquerdo A.
  • Rigidez à flexão constante: EI constante.
  • Condições de contorno: y(0)=0 e y(L)=0. Continuidade de y e de \theta = y' no ponto x=\tfrac{L}{2} (momento é contínuo; cisalhamento sofre salto por causa de P).

Passo 2

Primeiro passo mecânico: calcular as reações nos apoios. Por simetria da carga concentrada no meio, as reações são iguais:
R_A=R_B=\frac{P}{2}.
Explicação rápida por que: equilíbrio de forças verticais exige R_A+R_B=P e por simetria R_A=R_B, logo cada apoio fornece \tfrac{P}{2}.

Passo 3

Montar as expressões do momento fletor interno M(x) em cada região (essas expressões virão das reações e da presença da carga concentrada).
  • Para 0\le x\le \tfrac{L}{2} (à esquerda da carga), tomando seção à distância x do apoio esquerdo:
M(x)=R_A\;x=\frac{P}{2}\,x.
Motivação: a única força à esquerda que cria momento é R_A.
  • Para \tfrac{L}{2}\le x\le L (à direita da carga), é conveniente usar simetria ou tomar seção a uma distância x do apoio esquerdo e considerar a reação direita:
M(x)=R_B\,(L-x)=\frac{P}{2}(L-x).
Observação: essas duas fórmulas são equivalentes à escrita com a carga interna (para x>\tfrac{L}{2} deve-se subtrair o efeito de P quando a seção corta a força), e mostram que M(x) é contínuo em x=\tfrac{L}{2}.

Passo 4

A equação diferencial da linha elástica (pequenas deformações, vigas de Euler–Bernoulli) é
EI\,y''(x)=M(x),
onde y(x) é a deflexão vertical (positiva para baixo, dependendo da convenção), y'' é a curvatura aproximada e M(x) é o momento fletor interno. Aqui E é o módulo de Young e I o momento de inércia da seção; juntos aparecem como EI.
Vamos integrar essa equação duas vezes em cada região para obter y(x), introduzindo constantes de integração que serão encontradas pelas condições de contorno e de continuidade.

Passo 5

Resolver para a região 1: 0\le x\le \tfrac{L}{2}.
A equação é
EI\,y_1''(x)=\frac{P}{2}\,x.
Integração uma vez:
EI\,y_1'(x)=\frac{P}{4}\,x^{2}+C_1,
onde C_1 é constante de integração (associada à rotação na extremidade ou continuidade no meio). Integrando de novo:
EI\,y_1(x)=\frac{P}{12}\,x^{3}+C_1 x + C_2,
com C_2 outra constante de integração.

Passo 6

Aplicar as condições de contorno e simetria para determinar C_1 e C_2.
Condição no apoio esquerdo:
y_1(0)=0 \quad\Rightarrow\quad C_2=0.
Pela simetria da viga e da carga, a inclinação na seção central é zero:
y_1'\!\left(\tfrac{L}{2}\right)=0.
Usando EI\,y_1'(x)=\frac{P}{4}x^{2}+C_1 e aplicando em x=\tfrac{L}{2}:
0 = EI\,y_1'\!\left(\tfrac{L}{2}\right)=\frac{P}{4}\left(\frac{L}{2}\right)^2 + C_1 =\frac{P L^2}{16}+C_1.
Logo
C_1=-\frac{P L^2}{16}.

Passo 7

Substituir constantes em y_1(x). Como C_2=0 e C_1=-\dfrac{P L^2}{16},
EI\,y_1(x)=\frac{P}{12}x^{3}-\frac{P L^2}{16}\,x.
Fatorando P/(48) para simplificar:
EI\,y_1(x)=\frac{P}{48}\bigl(4x^{3}-3L^{2}x\bigr).
Portanto, para 0\le x\le \tfrac{L}{2},
\boxed{\,y_1(x)=\frac{P}{48\,EI}\bigl(4x^{3}-3L^{2}x\bigr)\,.}

Passo 8

Resolver para a região 2: \tfrac{L}{2}\le x\le L.
A equação é
EI\,y_2''(x)=\frac{P}{2}(L-x).
Integrando uma vez:
EI\,y_2'(x)=\frac{P}{2}L\,x-\frac{P}{4}x^{2}+C_3.
Integrando novamente:
EI\,y_2(x)=\frac{P}{4}L\,x^{2}-\frac{P}{12}x^{3}+C_3 x + C_4,
com C_3,C_4 constantes que vamos determinar por continuidade e condição no apoio direito.

Passo 9

Usar condições de continuidade e contorno para C_3 e C_4.
Condição de inclinação no meio (simetria):
y_2'\!\left(\tfrac{L}{2}\right)=0.
Usando EI\,y_2'(x)=\dfrac{P}{2}L x-\dfrac{P}{4}x^{2}+C_3 em x=\tfrac{L}{2}:
0 = \frac{P L^2}{4}-\frac{P L^2}{16}+C_3=\frac{3P L^2}{16}+C_3,
logo
C_3=-\frac{3P L^2}{16}.
Condição de continuidade de deflexão no meio:
y_1\!\left(\tfrac{L}{2}\right)=y_2\!\left(\tfrac{L}{2}\right).
Calculando EI\,y_1(\tfrac{L}{2}) pela expressão obtida:
EI\,y_1\!\left(\tfrac{L}{2}\right)=\frac{P}{48}\bigl(4(\tfrac{L}{2})^{3}-3L^{2}(\tfrac{L}{2})\bigr) =-\frac{P L^{3}}{48}.
Agora calcular EI\,y_2(\tfrac{L}{2}) usando a forma geral e C_3; impondo igualdade resolve C_4. Fazendo as contas (detalhes algébricos mostrados abaixo) obtém-se
C_4=\frac{P L^{3}}{48}.
Resumo das constantes da região 2:
C_3=-\frac{3P L^2}{16},\qquad C_4=\frac{P L^3}{48}.

Passo 10

Substituir C_3 e C_4 em y_2(x). Temos
EI\,y_2(x) = \frac{P}{4}L x^{2}-\frac{P}{12}x^{3}-\frac{3P L^2}{16}x+\frac{P L^3}{48}.
Fatorando P/(48) para deixar forma polinomial simples:
EI\,y_2(x)=\frac{P}{48}\bigl(-4x^{3}+12L x^{2}-9L^{2}x+L^{3}\bigr).
Portanto, para \tfrac{L}{2}\le x\le L,
\boxed{\,y_2(x)=\frac{P}{48\,EI}\bigl(-4x^{3}+12L x^{2}-9L^{2}x+L^{3}\bigr)\, .}

Passo 11

Forma simétrica mais compacta (opcional, útil em prova): por simetria da viga a deflexão à direita pode ser escrita em termos de L-x de mesma forma que a esquerda. Assim outra forma equivalente, mais limpa, é:
  • Para 0\le x\le \tfrac{L}{2}:
y(x)=\frac{P}{48\,EI}\bigl(4x^{3}-3L^{2}x\bigr).
  • Para \tfrac{L}{2}\le x\le L:
y(x)=\frac{P}{48\,EI}\bigl(4(L-x)^{3}-3L^{2}(L-x)\bigr).
Essa segunda forma deixa explícita a simetria y(x)=y(L-x).

Passo 12

Verificações rápidas (consistência):
  • Em x=0 e x=L tem-se y=0 (condições de apoio) — pode ser verificado substituindo.
  • Em x=\tfrac{L}{2} os dois ramos têm o mesmo valor y_{\max}=-\dfrac{P L^{3}}{48 EI} (sinal depende da convenção de eixo positivo), e a inclinação é zero — isso confirma continuidade e simetria.

Resposta

y(x)=\dfrac{P}{48\,EI}\bigl(4x^{3}-3L^{2}x\bigr)\qquad\text{para }0\le x<\dfrac{L}{2}
y(x)=\dfrac{P}{48\,EI}\bigl(-4x^{3}+12L x^{2}-9L^{2}x+L^{3}\bigr)\qquad\text{para }\dfrac{L}{2}\le x\le L

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