Esboce a onda periódica indicada. Determine o espectro de frequência de f. f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\cos x, & 0<x<\pi / 2 \\\\ 0, & \pi / 2<x<\pi\end{array} \quad f(x+\pi)=f(x)\right.
Passo 1
O enunciado dá uma função periódica de período \pi definida em um intervalo de uma repetição (peguei os valores do próprio enunciado):
Para 0<x<\pi/2 vale f(x)=\cos x.
Para \pi/2<x<\pi vale f(x)=0.
E a periodicidade é f(x+\pi)=f(x).
O que se pede:
Esboçar a onda periódica (descrever o comportamento em um período e sua repetição).
Determinar o espectro de frequência de f (ou seja, a série de Fourier e os coeficientes que mostram quais harmônicos aparecem).
Passo 2
Esboço da onda periódica (descrição passo a passo, fácil de desenhar na prova):
Considere um período canônico [0,\pi].
Em 0<x<\pi/2 a curva é exatamente a porção da função \cos x: parte decrescente que começa em \cos 0=1 e vai até \cos(\pi/2)=0.
Em \pi/2<x<\pi a função vale 0; portanto nesse trecho fica a linha horizontal no nível zero.
Repete-se esse bloco de comprimento \pi para todos os x: portanto, à direita e à esquerda de [0,\pi] repete-se o mesmo padrão (um “meio ciclo” de cosseno seguido de intervalo nulo).
Dica para desenhar rápido na prova: desenhe o cosseno de 0 a \pi/2 (de 1 a 0), depois trace a linha y=0 de \pi/2 a \pi e repita periodicamente.
Passo 3
Escolhendo o método (série de Fourier real para funções de período \pi) e fórmulas que vamos usar:
Período T=\pi. A freqüência angular fundamental é \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}=2.
Explicação rápida: essas fórmulas derivam da ortogonalidade das funções \{1,\cos(2k x),\sin(2k x)\} no intervalo de comprimento \pi. O fator 2/\pi vem da normalização para período \pi.
Como f(x)=0 para \pi/2<x<\pi, as integrais sobre [0,\pi] reduzem-se a integrais sobre [0,\pi/2] com f(x)=\cos x.
Os harmônicos presentes têm frequências angulares \omega=2k (isto é, múltiplos inteiros de 2, já que T=\pi e \omega_0=2).
Os coeficientes decaem como O(1/k) (devido à descontinuidade no ponto x=\pi/2), o que indica presença pronunciada de harmônicos de ordem alta (mas com amplitudes decrescentes).
Resposta
Esboço: em cada período [0,\pi] a função segue \cos x para 0<x<\pi/2 (de 1 a 0) e vale 0 para \pi/2<x<\pi; esse bloco repete-se com período \pi.