Esboce a onda periódica indicada. Determine o espectro de frequência de f.
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\cos x, & 0<x<\pi / 2 \\\\ 0, & \pi / 2<x<\pi\end{array} \quad f(x+\pi)=f(x)\right.

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica de período \pi definida em um intervalo de uma repetição (peguei os valores do próprio enunciado):
  • Para 0<x<\pi/2 vale f(x)=\cos x.
  • Para \pi/2<x<\pi vale f(x)=0.
  • E a periodicidade é f(x+\pi)=f(x).
O que se pede:
  1. Esboçar a onda periódica (descrever o comportamento em um período e sua repetição).
  2. Determinar o espectro de frequência de f (ou seja, a série de Fourier e os coeficientes que mostram quais harmônicos aparecem).

Passo 2

Esboço da onda periódica (descrição passo a passo, fácil de desenhar na prova):
  • Considere um período canônico [0,\pi].
  • Em 0<x<\pi/2 a curva é exatamente a porção da função \cos x: parte decrescente que começa em \cos 0=1 e vai até \cos(\pi/2)=0.
  • Em \pi/2<x<\pi a função vale 0; portanto nesse trecho fica a linha horizontal no nível zero.
  • Repete-se esse bloco de comprimento \pi para todos os x: portanto, à direita e à esquerda de [0,\pi] repete-se o mesmo padrão (um “meio ciclo” de cosseno seguido de intervalo nulo).
Dica para desenhar rápido na prova: desenhe o cosseno de 0 a \pi/2 (de 1 a 0), depois trace a linha y=0 de \pi/2 a \pi e repita periodicamente.

Passo 3

Escolhendo o método (série de Fourier real para funções de período \pi) e fórmulas que vamos usar:
  • Período T=\pi. A freqüência angular fundamental é \omega_0=\dfrac{2\pi}{T}=2.
  • Usamos a série de Fourier na forma real
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}\bigl(a_k\cos(2k x)+b_k\sin(2k x)\bigr),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx,\qquad a_k=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos(2k x)\,dx,
b_k=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(2k x)\,dx\qquad(k\ge1).
Explicação rápida: essas fórmulas derivam da ortogonalidade das funções \{1,\cos(2k x),\sin(2k x)\} no intervalo de comprimento \pi. O fator 2/\pi vem da normalização para período \pi.
Como f(x)=0 para \pi/2<x<\pi, as integrais sobre [0,\pi] reduzem-se a integrais sobre [0,\pi/2] com f(x)=\cos x.

Passo 4

Cálculo de a_0 (termo constante):
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx =\frac{2}{\pi}\bigl[\sin x\bigr]_{0}^{\pi/2}=\frac{2}{\pi}\cdot 1=\frac{2}{\pi}.
Portanto o termo constante na série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{\pi}.

Passo 5

Cálculo de a_k para k\ge1:
Partimos de
a_k=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos(2k x)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2k x)\,dx.
Usamos a identidade produto-para-soma
\cos x\cos(2k x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((2k+1)x)+\cos((2k-1)x)\bigr).
Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2k x)\,dx=\tfrac{1}{2}\left[\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}+\frac{\sin((2k-1)x)}{2k-1}\right]_{0}^{\pi/2}.
Avaliação em x=\pi/2: \sin((2k+1)\pi/2)=(-1)^k e \sin((2k-1)\pi/2)=(-1)^{k-1}. Em x=0 as senos são zero. Então a integral vale
\tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{(-1)^k}{2k+1}+\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\Bigr) =\tfrac{1}{2}(-1)^k\Bigl(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k-1}\Bigr).
Simplificando:
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2k x)\,dx=\frac{(-1)^{k+1}}{4k^2-1}.
Multiplicando pelo fator 2/\pi obtemos
a_k=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^{k+1}}{4k^2-1}=\frac{2(-1)^{k+1}}{\pi(4k^2-1)}.

Passo 6

Cálculo de b_k para k\ge1:
Partimos de
b_k=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\sin(2k x)\,dx.
Usamos a identidade
\cos x\sin(2k x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin((2k+1)x)+\sin((2k-1)x)\bigr).
Integrando,
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\sin(2k x)\,dx=\tfrac{1}{2}\left[-\frac{\cos((2k+1)x)}{2k+1}-\frac{\cos((2k-1)x)}{2k-1}\right]_{0}^{\pi/2}.
Para x=\pi/2 os cossenos \cos\big((\text{ímpar})\cdot\pi/2\big)=0í. Para x=0 os cossenos valem 1. Assim a integral fica
\tfrac{1}{2}\Bigl(0-0 -\bigl(-\tfrac{1}{2k+1}-\tfrac{1}{2k-1}\bigr)\Bigr) =\tfrac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k-1}\Bigr).
Somando as frações,
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k-1}\Bigr)=\frac{2k}{4k^2-1}\cdot\frac{2}{2}= \frac{2k}{4k^2-1}\cdot\frac{1}{1}?
Melhor simplificar diretamente:
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k-1}\Bigr)=\frac{4k}{2(4k^2-1)}=\frac{2k}{4k^2-1}.
Multiplicando por 2/\pi obtemos
b_k=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2k}{4k^2-1}=\frac{4k}{\pi(4k^2-1)}.
(Observação: uma forma equivalente, feita em menos passos, é combinar as frações \dfrac{1}{2k+1}+\dfrac{1}{2k-1}=\dfrac{4k}{4k^2-1}.)

Passo 7

Escrevendo a série de Fourier completa (o “espectro”):
  • Termo constante: \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{\pi}.
  • Para k\ge1:
a_k=\frac{2(-1)^{k+1}}{\pi(4k^2-1)},\qquad b_k=\frac{4k}{\pi(4k^2-1)}.
Portanto a série de Fourier da função é
\boxed{\,f(x)=\frac{1}{\pi}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{2(-1)^{k+1}}{\pi(4k^2-1)}\cos(2k x)+\frac{4k}{\pi(4k^2-1)}\sin(2k x)\right]\,.}
Interpretação do espectro:
  • Os harmônicos presentes têm frequências angulares \omega=2k (isto é, múltiplos inteiros de 2, já que T=\pi e \omega_0=2).
  • Os coeficientes decaem como O(1/k) (devido à descontinuidade no ponto x=\pi/2), o que indica presença pronunciada de harmônicos de ordem alta (mas com amplitudes decrescentes).

Resposta

Esboço: em cada período [0,\pi] a função segue \cos x para 0<x<\pi/2 (de 1 a 0) e vale 0 para \pi/2<x<\pi; esse bloco repete-se com período \pi.
Espectro (série de Fourier):
f(x)=\frac{1}{\pi}+\sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{2(-1)^{k+1}}{\pi(4k^2-1)}\cos(2k x)+\frac{4k}{\pi(4k^2-1)}\sin(2k x)\right].

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