Considere os pontos D=(0,1,4), E=(-4,1,2), F=(3,-4,2), G=(1,-3,-1).
O s pontos D, E, F, G são coplanares?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no espaço: D=(0,1,4), E=(-4,1,2), F=(3,-4,2) e G=(1,-3,-1). A questão é saber se esses pontos estão todos no mesmo plano, ou seja, se são coplanares. Para descobrir isso, vamos usar o conceito de determinante que nos ajuda a verificar se o volume formado pelos vetores desses pontos é zero. Se for zero, os pontos são coplanares.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um ponto como referência. Vou escolher o ponto D. Agora, vamos formar três vetores usando D como base:
DE = E - D = (-4-0, 1-1, 2-4) = (-4, 0, -2)
DF = F - D = (3-0, -4-1, 2-4) = (3, -5, -2)
DG = G - D = (1-0, -3-1, -1-4) = (1, -4, -5)

Passo 3

Agora, para verificar a coplanaridade, a gente monta uma matriz com esses três vetores e calcula o determinante dela. Se o determinante for zero, os pontos são coplanares.
A matriz fica assim:
-4 & 0 & -2 3 & -5 & -2 1 & -4 & -5

Passo 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, vamos fazer:
Det = -4 times -5 & -2 -4 & -5 - 0 times 3 & -2 1 & -5 + (-2) times 3 & -5 1 & -4
Calculando cada menor:
-5 & -2 -4 & -5 = (-5)(-5) - (-2)(-4) = 25 - 8 = 17
3 & -5 1 & -4 = (3)(-4) - (-5)(1) = -12 + 5 = -7
Substituindo de volta:
Det = -4 times 17 - 0 times (qualquer coisa) + (-2) times (-7) = -68 + 14 = -54

Resposta

Como o determinante é -54 e não zero, os pontos D, E, F e G não são coplanares.

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