Determine as equações paramétricas da reta que passa por
((1,0,-1)) e é paralela à reta
\frac{1}{3}(x-4)=\frac{1}{2} y=z+2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado o ponto por onde a reta deve passar: (1,0,-1).
  • Dada uma reta paralela, escrita no enunciado como \dfrac{1}{3}(x-4)=\dfrac{1}{2}y=z+2.
    (Isto equivale à forma simétrica \dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y}{2}=z+2.)
  • O que se pede: determinar as equações paramétricas da reta que passa por (1,0,-1) e é paralela à reta dada.

Passo 2

Entender como extrair o vetor direção da reta dada. Quando uma reta em 3D é escrita na forma simétrica
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=t,
pode-se introduzir um parâmetro t e escrever
x=x_0+at,\qquad y=y_0+bt,\qquad z=z_0+ct.
Os números a,b,c formam o vetor direção da reta, \mathbf{v}=(a,b,c). Isso ocorre porque cada coordenada varia linearmente com o mesmo parâmetro t.
No caso fornecido, escrevemos a igualdade com um parâmetro t:
\frac{x-4}{3}=\frac{y}{2}=z+2=t.
Assim, resolvendo em função de t obtemos:
x=3t+4,\qquad y=2t,\qquad z=t-2.
Portanto o vetor direção da reta dada é
\mathbf{v}=(3,2,1).

Passo 3

Explicar a forma paramétrica de uma reta a partir de um ponto e de um vetor direção.
Se uma reta passa por um ponto (x_0,y_0,z_0) e tem vetor direção \mathbf{v}=(a,b,c), então suas equações paramétricas são
x=x_0+at,\qquad y=y_0+bt,\qquad z=z_0+ct,
onde t é o parâmetro real. Isso é direto da interpretação geométrica: a reta é o conjunto de pontos obtidos somando ao ponto inicial múltiplos do vetor direção.
Aqui o parâmetro t pode ser renomeado (por exemplo para s) — o que importa é que é um número real que percorre a reta.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao ponto dado e ao vetor direção obtido.
Ponto dado: (x_0,y_0,z_0)=(1,0,-1). Vetor direção: \mathbf{v}=(3,2,1).
Usando a forma paramétrica:
x=1+3s, \qquad y=0+2s=2s, \qquad z=-1+1\cdot s=-1+s,
onde s\in\mathbb{R} é o parâmetro da nova reta.
Opcionalmente, na forma vetorial:
\mathbf{r}(s)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Também se pode escrever a forma simétrica correspondente (dividindo cada equação por o respectivo coeficiente da direção):
\frac{x-1}{3}=\frac{y-0}{2}=\frac{z+1}{1}.]

Passo 5

Checagem rápida (para ganhar confiança): as direções são proporcionais? O vetor direção da reta dada era (3,2,1) e o da reta construída é o mesmo (3,2,1), logo as retas são paralelas como exigido. O ponto (1,0,-1) pertence à nossa equação quando s=0, então a reta realmente passa por esse ponto.

Resposta

x=1+3s
y=2s
z=-1+s

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