Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3},|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|=|\mathbf{v} \times \mathbf{u}|.
Passo 1
O enunciado pede para verificar (e justificar) a igualdade entre os módulos das produtos vetoriais, para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3}:
Pergunta: Mostrar se é verdade que \;|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mathbf{v}\times\mathbf{u}|\; para todo \mathbf{u},\mathbf{v}\in V_{3}.
Dados: \mathbf{u},\mathbf{v} são vetores quaisquer em V_{3}. Nada mais é assumido além disso.
Passo 2
Definição coordenada do produto vetorial (pra gente trabalhar com as contas concretas).
Como todas as três componentes de \mathbf{v}\times\mathbf{u} são o negativo das correspondentes de \mathbf{u}\times\mathbf{v}, obtemos a identidade vetorial clássica (propriedade anti‑comutativa):
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} com 0\le\theta\le\pi. O ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} é o mesmo que o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{u}, logo o lado direito da fórmula é simétrico na troca de \mathbf{u} por \mathbf{v}. Assim se obtém novamente
Essa visão liga o resultado à interpretação geométrica: trocar a ordem não altera a área do paralelogramo.
Passo 6
Conclusão final: a igualdade |\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mathbf{v}\times\mathbf{u}| é verdadeira para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in V_{3}. Você pode usar a prova algébrica (componentes) ou a razão geométrica (área) dependendo do estilo que preferir — ambas dão a mesma resposta. Força aí na prova, você tira isso numa boa!