1. Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3},|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|=|\mathbf{v} \times \mathbf{u}|.

Passo 1

O enunciado pede para verificar (e justificar) a igualdade entre os módulos das produtos vetoriais, para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} em V_{3}:
  • Pergunta: Mostrar se é verdade que \;|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mathbf{v}\times\mathbf{u}|\; para todo \mathbf{u},\mathbf{v}\in V_{3}.
  • Dados: \mathbf{u},\mathbf{v} são vetores quaisquer em V_{3}. Nada mais é assumido além disso.

Passo 2

Definição coordenada do produto vetorial (pra gente trabalhar com as contas concretas).
  • Escreva os vetores pelas componentes:
\mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}),\qquad \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}).
  • O produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} é definido componente a componente por
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\bigl(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\;u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\;u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}\bigr).
Essa é a fórmula padrão (pode ser obtida por determinante com a base canônica), e vale para quaisquer vetores em \mathbb{R}^{3} (ou V_{3}).

Passo 3

Calcule diretamente \mathbf{v}\times\mathbf{u} usando a mesma fórmula, trocando u e v:
\mathbf{v}\times\mathbf{u}=\bigl(v_{2}u_{3}-v_{3}u_{2},\;v_{3}u_{1}-v_{1}u_{3},\;v_{1}u_{2}-v_{2}u_{1}\bigr).
Agora observe cada componente e compare com as componentes de \mathbf{u}\times\mathbf{v}:
  • Primeira componente:
v_{2}u_{3}-v_{3}u_{2}=-(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})=-(\mathbf{u}\times\mathbf{v})_{1}.
  • Segunda componente:
v_{3}u_{1}-v_{1}u_{3}=-(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})=-(\mathbf{u}\times\mathbf{v})_{2}.
  • Terceira componente:
v_{1}u_{2}-v_{2}u_{1}=-(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})=-(\mathbf{u}\times\mathbf{v})_{3}.
Como todas as três componentes de \mathbf{v}\times\mathbf{u} são o negativo das correspondentes de \mathbf{u}\times\mathbf{v}, obtemos a identidade vetorial clássica (propriedade anti‑comutativa):
\mathbf{v}\times\mathbf{u}= -\bigl(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr).

Passo 4

Passe para os módulos (normas) usando propriedades da norma euclidiana.
  • Propriedade: para qualquer escalar \alpha e qualquer vetor \mathbf{w} vale
|\alpha\mathbf{w}| = |\alpha|\,|\mathbf{w}|.
Explicação rápida dessa propriedade: se \mathbf{w}=(w_{1},w_{2},w_{3}) então
|\alpha\mathbf{w}|=\sqrt{(\alpha w_{1})^{2}+(\alpha w_{2})^{2}+(\alpha w_{3})^{2}} =\sqrt{\alpha^{2}\bigl(w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\bigr)} =|\alpha|\,\sqrt{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}=|\alpha|\,|\mathbf{w}|.
  • Aplique isso com \alpha=-1 e \mathbf{w}=\mathbf{u}\times\mathbf{v}. Usando \mathbf{v}\times\mathbf{u}=-\bigl(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr) temos
|\mathbf{v}\times\mathbf{u}| = | -\bigl(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr)| = |-1|\,\bigl|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr| = 1\cdot\bigl|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr| = \bigl|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\bigr|.
Logo os módulos são iguais.

Passo 5

Uma explicação geométrica alternativa (útil para entender a intuição):
  • Geometricamente, o módulo |\mathbf{u}\times\mathbf{v}| é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}. Existe também a fórmula
|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} com 0\le\theta\le\pi. O ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} é o mesmo que o ângulo entre \mathbf{v} e \mathbf{u}, logo o lado direito da fórmula é simétrico na troca de \mathbf{u} por \mathbf{v}. Assim se obtém novamente
|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mathbf{v}\times\mathbf{u}|.
Essa visão liga o resultado à interpretação geométrica: trocar a ordem não altera a área do paralelogramo.

Passo 6

Conclusão final: a igualdade |\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mathbf{v}\times\mathbf{u}| é verdadeira para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in V_{3}. Você pode usar a prova algébrica (componentes) ou a razão geométrica (área) dependendo do estilo que preferir — ambas dão a mesma resposta. Força aí na prova, você tira isso numa boa!

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados