Determine as equações paramétricas da reta que passa por ((-2,2,4)) e é perpendicular ao plano (2 x-y+5 z=12)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (-2,2,4) e é perpendicular ao plano dado pela equação 2x - y + 5z = 12.
Informações dadas:
  • Ponto por onde a reta passa: \,(-2,2,4).
  • Equação do plano: \,2x - y + 5z = 12.
O que é pedido:
  • Encontrar as equações paramétricas \,x(t),\,y(t),\,z(t)\, da reta que satisfaz essas condições.

Passo 2

Entender por que os coeficientes da equação do plano dão a direção “perpendicular”. Considere um plano escrito na forma
ax+by+cz=d.
Os números a, b e c formam o vetor \,(a,b,c). Para ver por que esse vetor é perpendicular ao plano, tome dois pontos quaisquer P_1=(x_1,y_1,z_1) e P_2=(x_2,y_2,z_2) que pertencem ao plano. Então
a x_1 + b y_1 + c z_1 = d \qquad\text{e}\qquad a x_2 + b y_2 + c z_2 = d.
Subtraindo as duas igualdades obtemos
a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2-z_1) = 0,
ou seja,
(a,b,c)\cdot(x_2-x_1,\,y_2-y_1,\,z_2-z_1) = 0.
Isso mostra que o vetor (a,b,c) é ortogonal (perpendicular) a qualquer vetor que liga dois pontos do plano; portanto (a,b,c) é um vetor normal ao plano.

Passo 3

Aplicando ao nosso plano \,2x - y + 5z = 12, os coeficientes são a=2, b=-1, c=5. Logo o vetor normal do plano é
\mathbf{n} = (2,-1,5).
Uma reta que é perpendicular ao plano tem direção paralela a esse vetor normal (porque ser perpendicular ao plano significa ter direção ortogonal a todo vetor do plano).

Passo 4

Fórmula das equações paramétricas de uma reta: se uma reta passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), suas equações paramétricas são
x = x_0 + v_x\,t,\qquad y = y_0 + v_y\,t,\qquad z = z_0 + v_z\,t,
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Aqui cada v_i é a componente correspondente do vetor direção; variar t alonga-se a reta.
No nosso caso:
  • ponto P_0 = (-2,2,4), então x_0=-2,\;y_0=2,\;z_0=4;
  • vetor direção pode ser escolhido \mathbf{v}=\mathbf{n}=(2,-1,5).

Passo 5

Substituindo na fórmula das paramétricas:
x = -2 + 2t,
y = 2 - t,
z = 4 + 5t,
com t\in\mathbb{R}.
Essas são as equações paramétricas procuradas. Se quiser, pode também escrever a forma simétrica da reta (quando os componentes do vetor direção não são zero):
\frac{x+2}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-4}{5}.

Passo 6

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): o vetor diretor da reta é (2,-1,5), que coincide com o vetor normal do plano, então a reta é, de fato, perpendicular ao plano. Além disso a reta passa por (-2,2,4) por construção.

Resposta

x = -2 + 2t
y = 2 - t
z = 4 + 5t

Exercícios relacionados