Determine as equações paramétricas da reta que passa por ((-2,2,4)) e é perpendicular ao plano (2 x-y+5 z=12)
Passo 1
O enunciado pede: determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto
e é perpendicular ao plano dado pela equação
.
Informações dadas:
- Ponto por onde a reta passa:
. - Equação do plano:
.
O que é pedido:
- Encontrar as equações paramétricas
da reta que satisfaz essas condições.
Passo 2
Entender por que os coeficientes da equação do plano dão a direção “perpendicular”. Considere um plano escrito na forma
Os números
,
e
formam o vetor
. Para ver por que esse vetor é perpendicular ao plano, tome dois pontos quaisquer
e
que pertencem ao plano. Então
Subtraindo as duas igualdades obtemos
ou seja,
Isso mostra que o vetor
é ortogonal (perpendicular) a qualquer vetor que liga dois pontos do plano; portanto
é um vetor normal ao plano.
Passo 3
Aplicando ao nosso plano
, os coeficientes são
,
,
. Logo o vetor normal do plano é
Uma reta que é perpendicular ao plano tem direção paralela a esse vetor normal (porque ser perpendicular ao plano significa ter direção ortogonal a todo vetor do plano).
Passo 4
Fórmula das equações paramétricas de uma reta: se uma reta passa por um ponto
e tem vetor diretor
, suas equações paramétricas são
onde
é o parâmetro. Aqui cada
é a componente correspondente do vetor direção; variar
alonga-se a reta.
No nosso caso:
- ponto
, então ; - vetor direção pode ser escolhido
.
Passo 5
Substituindo na fórmula das paramétricas:
com
.
Essas são as equações paramétricas procuradas. Se quiser, pode também escrever a forma simétrica da reta (quando os componentes do vetor direção não são zero):
Passo 6
Verificação rápida (pra ficar tranquilo): o vetor diretor da reta é
, que coincide com o vetor normal do plano, então a reta é, de fato, perpendicular ao plano. Além disso a reta passa por
por construção.