8 Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P=(1,1,1), é paralela ao plano pi1: x+2 y-z=0 e forma com o plano pi2: x-2 y+z=1 um ângulo de 60^circ.

Passo 1

Estamos procurando uma reta r que passe por P=(1,1,1), seja paralela ao plano
pi1: x+2y-z=0
e forme com o plano
pi2: x-2y+z=1
um ângulo de 60^circ.
Para isso, vamos:
  1. Parametrizar o vetor direção v=(a,b,c) de r.
  2. Exigir que v seja paralelo a pi1, isto é, vcdot n1=0, com n1=(1,2,-1).
  3. Impor a condição de ângulo de 60^circ entre reta e plano pi2, usando a fórmula
sin(60^circ);=;l| vcdot n2r|| v|;| n2|,
onde n2=(1,-2,1).

Passo 2

Paralela a pi1 significa
vcdot n1 = (a,b,c)cdot(1,2,-1) = a+2b-c =0 Longrightarrow c=a+2b

Passo 3

O numerador do seno do ângulo com pi2 é
vcdot n2 = (a,b,a+2b)cdot(1,-2,1) = a-2b+(a+2b) =2a
Como | n2|=raiz1+4+1=raiz6 e
| v|^2=a^2+b^2+(a+2b)^2=2a^2+5b^2+4ab, a condição sin60^circ=raiz3/2
|2a|raiz2a^2+5b^2+4ab,raiz6 ;=;raiz32
Elevando ao quadrado e simplificando, chega-se a
10,a^2 ;+;36,a,b;+;45,b^2 ;=;0

Passo 4

O discriminante dessa equação quadrática em a/b é
De<a ;=;36^2-4cdot10cdot45 ;=;1296 - 1800 ;<;0,
logo não há soluções reais (a,b)neq(0,0). Ou seja, não existe nenhum vetor vneq0 que satisfaça simultaneamente as duas condições.

Resposta

Não existe reta real que satisfaça todas as propriedades dadas.

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