Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de
.
O conjunto das funções não decrescentes em
.
O conjunto das funções não decrescentes em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
(funções contínuas em
) sobre
.
Passo 2
Para que um subconjunto
de um espaço vetorial
seja subespaço, é suficiente checar:
(i) a função zero está em ,
(ii) se então
,
(iii) se e
então
.
(i) a função zero está em
(ii) se
(iii) se
Passo 3
Verificamos a função zero. A função
é constante e, portanto, satisfaz que para quaisquer
,
. Logo,
é não decrescente e
.
Passo 4
Verificamos fechamento sob soma. Se
, então para
temos
Somando as desigualdades resulta
logo
é não decrescente e
.
Passo 5
Verificamos fechamento sob multiplicação escalar. Se
e
, então
é não decrescente. Mas se
, a desigualdade inverte: para
,
então
não é não decrescente. Por exemplo,
é não decrescente, mas
é estritamente decrescente, ou seja
. Logo não há fechamento para
.
Resposta
O conjunto das funções não decrescentes em
não é subespaço de
, pois falha o fechamento sob multiplicação por escalares negativos.