Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de C[-1,1].
O conjunto das funções não decrescentes em [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
V = ,fin C[-1,1]mid f é não decrescente em [-1,1] éã
é um subespaço do espaço vetorial C[-1,1] (funções contínuas em [-1,1]) sobre R.

Passo 2

Para que um subconjunto V de um espaço vetorial W seja subespaço, é suficiente checar:
(i) a função zero está em V,
(ii) se f,gin V então f+gin V,
(iii) se fin V e lambdainR então lambda fin V.

Passo 3

Verificamos a função zero. A função f0(x)=0 é constante e, portanto, satisfaz que para quaisquer x<= y, f0(x)=0<=0=f0(y). Logo, f0 é não decrescente e f0in V.

Passo 4

Verificamos fechamento sob soma. Se f,gin V, então para x<= y temos
f(x)<= f(y) e g(x)<= g(y)
Somando as desigualdades resulta
(f+g)(x)=f(x)+g(x)<= f(y)+g(y)=(f+g)(y),
logo f+g é não decrescente e f+gin V.

Passo 5

Verificamos fechamento sob multiplicação escalar. Se lambda>0 e fin V, então lambda f é não decrescente. Mas se lambda<0, a desigualdade inverte: para x<= y,
f(x)<= f(y) implies lambda f(x)>= lambda f(y),
então lambda f não é não decrescente. Por exemplo, f(x)=x é não decrescente, mas -1cdot f(x)=-x é estritamente decrescente, ou seja -xnotin V. Logo não há fechamento para lambda<0.

Resposta

O conjunto das funções não decrescentes em [-1,1] não é subespaço de C[-1,1], pois falha o fechamento sob multiplicação por escalares negativos.

Exercícios relacionados