Determine as equações paramétricas da reta
Que passa pelos pontos (4,-1,2) e (1,1,5)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos (4,-1,2) e (1,1,5).
Informações dadas:
  • Ponto P_0 = (4,-1,2).
  • Ponto P_1 = (1,1,5).
    O objetivo é escrever as coordenadas x,y,z como funções de um parâmetro (digamos t) que descrevam todas as posições na reta que contém esses dois pontos.

Passo 2

Ideia principal (fórmula que vamos usar): uma reta em \mathbb{R}^3 pode ser escrita em forma paramétrica a partir de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e um vetor diretor \vec{v}=(a,b,c) assim:
x = x_0 + a t,\qquad y = y_0 + b t,\qquad z = z_0 + c t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Explicando cada símbolo:
  • x,y,z são as coordenadas de um ponto qualquer da reta.
  • x_0,y_0,z_0 são as coordenadas de um ponto fixo da reta (usamos P_0).
  • \vec{v}=(a,b,c) é o vetor diretor da reta; ele indica a direção e sentido da reta.
  • t é o parâmetro real; variando t percorre-se toda a reta.
    Para obter \vec{v} a partir de dois pontos P_0 e P_1 usa-se a diferença:
\vec{v} = P_1 - P_0 = (x_1-x_0,\;y_1-y_0,\;z_1-z_0).

Passo 3

Calcular o vetor diretor \vec{v} usando os pontos fornecidos:
\vec{v} = P_1 - P_0 = (1-4,\;1-(-1),\;5-2).
Fazendo as subtrações coordenada a coordenada:
1-4 = -3,\qquad 1-(-1)=2,\qquad 5-2=3.
Portanto
\vec{v} = (-3,\;2,\;3).

Passo 4

Montar as equações paramétricas usando P_0=(4,-1,2) e \vec{v}=(-3,2,3). Aplicando a fórmula:
x = 4 + (-3)t,\qquad y = -1 + 2t,\qquad z = 2 + 3t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Podemos simplificar o primeiro termo:
x = 4 - 3t,\qquad y = -1 + 2t,\qquad z = 2 + 3t.

Passo 5

Verificação rápida para garantir que a parametrização passa pelos dois pontos dados:
  • Para t=0 obtemos (x,y,z)=(4,-1,2)=P_0.
  • Para t=1 obtemos (x,y,z)=(4-3,\,-1+2,\;2+3)=(1,1,5)=P_1.
    Portanto a parametrização está correta: varia t percorre toda a reta que contém P_0 e P_1.

Resposta

x = 4 - 3t
y = -1 + 2t
z = 2 + 3t, \;t\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados