Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
O produto vetorial de dois vetores unitários é um vetor unitário.

Passo 1

O enunciado afirma: “O produto vetorial de dois vetores unitários é um vetor unitário.”
O que se pede: determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar (ou fornecer um contraexemplo).
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • Há dois vetores quaisquer que são unitários, ou seja, cada um tem norma igual a 1.
  • O operador considerado é o produto vetorial (cross product) entre esses dois vetores.
  • Precisa-se decidir se o resultado desse produto vetorial sempre tem norma 1 (ou seja, é um vetor unitário), ou não.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que significa “vetor unitário” e a propriedade básica do produto vetorial que vamos usar.
Definição de vetor unitário: um vetor \mathbf{u} é unitário se sua norma é igual a 1, isto é,
\|\mathbf{u}\| = 1.
Fórmula fundamental do produto vetorial: para dois vetores em \mathbb{R}^3, \mathbf{a} e \mathbf{b}, o módulo (norma) do produto vetorial satisfaz
\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\| = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}, com 0\le\theta\le\pi.
Breve explicação intuitiva dessa fórmula: \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\| é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{a} e \mathbf{b}. A área do paralelogramo é base vezes altura, e a altura relativa a \mathbf{a} é \|\mathbf{b}\|\sin\theta, daí surge a expressão acima. Não é necessário provar formalmente agora; basta saber e poder usar essa relação.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso em que ambos os vetores são unitários: se \|\mathbf{a}\|=1 e \|\mathbf{b}\|=1, então
\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\| = 1\cdot 1\cdot \sin\theta = \sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.
Interpretação: o módulo do produto vetorial de dois vetores unitários é \sin\theta. Isso depende do ângulo \theta. Lembre que \sin\theta varia entre 0 e 1:
  • \sin\theta=0 quando \theta=0 ou \theta=\pi (vetores paralelos ou anti-paralelos);
  • \sin\theta=1 quando \theta=\tfrac{\pi}{2} (vetores ortogonais);
  • para outros ângulos, 0<\sin\theta<1.

Passo 4

Conclusão lógica imediata: para que \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=1 (ou seja, para o produto vetorial ser unitário) é necessário e suficiente que \sin\theta=1, isto é, que \theta=\tfrac{\pi}{2} (os vetores sejam perpendiculares). Portanto:
  • Se os dois vetores unitários forem perpendiculares, então o produto vetorial terá norma 1 e será unitário.
  • Mas se os vetores não forem perpendiculares, o módulo será \sin\theta<1 e o produto vetorial NÃO será unitário.
  • No caso paralelo/anti-paralelo, o produto vetorial é o vetor nulo, de norma 0.
Daí decorre que a afirmação “o produto vetorial de dois vetores unitários é um vetor unitário” não é verdadeira em geral: ela só vale em uma situação particular (quando os vetores são ortogonais). Logo, a afirmação é falsa em termos gerais.

Passo 5

Vamos dar contraexemplos numéricos simples (úteis para usar numa prova):
Exemplo 1 (mostrando falso de forma óbvia): tomar \mathbf{a}=(1,0,0) e \mathbf{b}=(1,0,0). Ambos são unitários. O produto vetorial é
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (1,0,0)\times(1,0,0) = (0,0,0),
cuja norma é 0, que não é 1. Isso já mostra que a afirmação é falsa em geral.
Exemplo 2 (mostrando que às vezes é verdadeiro, mas não sempre): tomar \mathbf{a}=(1,0,0) e \mathbf{b}=(0,1,0). Ambos unitários e perpendiculares; então
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (0,0,1),
que tem norma 1. Aqui o produto vetorial é unitário — caso particular.
Exemplo 3 (ângulo genérico): tomar \mathbf{a}=(1,0,0) e \mathbf{b}=\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2},0\right). Ambos unitários e o ângulo entre eles é \tfrac{\pi}{4}. O produto vetorial é
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \bigl(0,0,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr),
cuja norma é \tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707<1. Mais um contraexemplo mostrando que, em geral, não é unitário.

Resposta

Falsa

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