Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
O produto vetorial de dois vetores unitários é um vetor unitário.
O produto vetorial de dois vetores unitários é um vetor unitário.
Passo 1
O enunciado afirma: “O produto vetorial de dois vetores unitários é um vetor unitário.”
O que se pede: determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar (ou fornecer um contraexemplo).
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
O que se pede: determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar (ou fornecer um contraexemplo).
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- Há dois vetores quaisquer que são unitários, ou seja, cada um tem norma igual a
. - O operador considerado é o produto vetorial (cross product) entre esses dois vetores.
- Precisa-se decidir se o resultado desse produto vetorial sempre tem norma
(ou seja, é um vetor unitário), ou não.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que significa “vetor unitário” e a propriedade básica do produto vetorial que vamos usar.
Definição de vetor unitário: um vetor
é unitário se sua norma é igual a
, isto é,
Fórmula fundamental do produto vetorial: para dois vetores em
,
e
, o módulo (norma) do produto vetorial satisfaz
onde
é o ângulo entre
e
, com
.
Breve explicação intuitiva dessa fórmula: é a área do paralelogramo gerado por
e
. A área do paralelogramo é base vezes altura, e a altura relativa a
é
, daí surge a expressão acima. Não é necessário provar formalmente agora; basta saber e poder usar essa relação.
Breve explicação intuitiva dessa fórmula:
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso em que ambos os vetores são unitários: se
e
, então
onde
é o ângulo entre
e
.
Interpretação: o módulo do produto vetorial de dois vetores unitários é
. Isso depende do ângulo
. Lembre que
varia entre
e
:
-
quando ou (vetores paralelos ou anti-paralelos); -
quando (vetores ortogonais); - para outros ângulos,
.
Passo 4
Conclusão lógica imediata: para que
(ou seja, para o produto vetorial ser unitário) é necessário e suficiente que
, isto é, que
(os vetores sejam perpendiculares). Portanto:
- Se os dois vetores unitários forem perpendiculares, então o produto vetorial terá norma
e será unitário. - Mas se os vetores não forem perpendiculares, o módulo será
e o produto vetorial NÃO será unitário. - No caso paralelo/anti-paralelo, o produto vetorial é o vetor nulo, de norma
.
Daí decorre que a afirmação “o produto vetorial de dois vetores unitários é um vetor unitário” não é verdadeira em geral: ela só vale em uma situação particular (quando os vetores são ortogonais). Logo, a afirmação é falsa em termos gerais.
Passo 5
Vamos dar contraexemplos numéricos simples (úteis para usar numa prova):
Exemplo 1 (mostrando falso de forma óbvia): tomar
e
. Ambos são unitários. O produto vetorial é
cuja norma é
, que não é
. Isso já mostra que a afirmação é falsa em geral.
Exemplo 2 (mostrando que às vezes é verdadeiro, mas não sempre): tomar
e
. Ambos unitários e perpendiculares; então
que tem norma
. Aqui o produto vetorial é unitário — caso particular.
Exemplo 3 (ângulo genérico): tomar
e
. Ambos unitários e o ângulo entre eles é
. O produto vetorial é
cuja norma é
. Mais um contraexemplo mostrando que, em geral, não é unitário.
Resposta
Falsa