(a) Determine as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P=(3,1,2) e é perpendicular ao plano \pi: x-2 y+z=1.
(b) Em que ponto a reta r intercepta o plano \pi ?
(c) Em que ponto a reta r intercepta o plano x y ?
(Respostas)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
  • Ponto dado: \,P=(3,1,2).
  • Plano dado: \,\pi:\;x-2y+z=1.
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar as equações paramétricas da reta r que passa por P e é perpendicular ao plano \pi.
(b) Em que ponto a reta r intercepta o plano \pi?
(c) Em que ponto a reta r intercepta o plano xy (ou seja, o plano definido por z=0).

Passo 2

Entender a condição “reta perpendicular ao plano”: a reta é perpendicular ao plano quando sua direção é paralela ao vetor normal do plano. A equação do plano está escrita na forma
x-2y+z=1,
e, nessa forma, os coeficientes das variáveis dão diretamente o vetor normal. Ou seja, o vetor normal \vec{n} do plano é
\vec{n}=(1,-2,1).
Explicando passo a passo: o plano \pi tem a forma geral \,ax+by+cz=d. O vetor \vec{n}=(a,b,c) é perpendicular a qualquer reta contida no plano; portanto, uma reta perpendicular ao plano tem direção paralela a \vec{n}.

Passo 3

Construir as equações paramétricas da reta r.
Forma geral: a reta que passa por um ponto (x_0,y_0,z_0) com vetor direção (a,b,c) tem equações paramétricas
x=x_0+at,\qquad y=y_0+bt,\qquad z=z_0+ct,
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro. Aqui (x_0,y_0,z_0)=(3,1,2) e (a,b,c)=\vec{n}=(1,-2,1). Substituindo:
x=3+t,\qquad y=1-2t,\qquad z=2+t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto responde (a): são as equações paramétricas da reta r.

Passo 4

Encontrar a interseção de r com o plano \pi (item (b)). Para isso, substituímos as paramétricas de r na equação do plano e resolvemos para t.
A equação do plano é \,x-2y+z=1. Substituindo x=3+t, y=1-2t, z=2+t:
(3+t)-2(1-2t)+(2+t)=1.
Agora desenvolve cada termo:
3+t-2+4t+2+t=1.
Agrupando constantes e termos em t:
(3-2+2)+(t+4t+t)=1 \quad\Rightarrow\quad 3+6t=1.
Isolando t:
6t=1-3=-2 \quad\Rightarrow\quad t=-\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Com t=-\tfrac{1}{3} obtemos as coordenadas do ponto de interseção substituindo nas paramétricas:
x=3+t=3-\tfrac{1}{3}=\tfrac{8}{3},
y=1-2t=1-2\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)=1+\tfrac{2}{3}=\tfrac{5}{3},
z=2+t=2-\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{3}.
Portanto a reta r intercepta \pi no ponto \left(\tfrac{8}{3},\tfrac{5}{3},\tfrac{5}{3}\right).

Passo 6

Encontrar a interseção de r com o plano xy (item (c)). O plano xy é dado por \,z=0. Usamos a paramétrica de z: z=2+t. Igualando a zero:
2+t=0 \quad\Rightarrow\quad t=-2.
Substitui t=-2 nas paramétricas para achar x e y:
x=3+t=3-2=1,
y=1-2t=1-2(-2)=1+4=5,
z=0\quad(\text{por construção}).çã
Logo a reta r intercepta o plano xy no ponto (1,5,0).

Resposta

(a) \;x=3+t,\;y=1-2t,\;z=2+t,\;t\in\mathbb{R}
(b) \;\left(\tfrac{8}{3},\tfrac{5}{3},\tfrac{5}{3}\right)
(c) \;(1,5,0)

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