(a) Determine as equações paramétricas da reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular ao plano
.
(b) Em que ponto a reta
intercepta o plano
?
(c) Em que ponto a reta
intercepta o plano
?
(Respostas)
(b) Em que ponto a reta
(c) Em que ponto a reta
(Respostas)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
- Ponto dado:
. - Plano dado:
.
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar as equações paramétricas da reta que passa por
e é perpendicular ao plano
.
(b) Em que ponto a reta intercepta o plano
?
(c) Em que ponto a reta intercepta o plano
(ou seja, o plano definido por
).
(a) Determinar as equações paramétricas da reta
(b) Em que ponto a reta
(c) Em que ponto a reta
Passo 2
Entender a condição “reta perpendicular ao plano”: a reta é perpendicular ao plano quando sua direção é paralela ao vetor normal do plano. A equação do plano está escrita na forma
e, nessa forma, os coeficientes das variáveis dão diretamente o vetor normal. Ou seja, o vetor normal
do plano é
Explicando passo a passo: o plano
tem a forma geral
. O vetor
é perpendicular a qualquer reta contida no plano; portanto, uma reta perpendicular ao plano tem direção paralela a
.
Passo 3
Construir as equações paramétricas da reta
.
Forma geral: a reta que passa por um ponto com vetor direção
tem equações paramétricas
Forma geral: a reta que passa por um ponto
onde
é o parâmetro. Aqui
e
. Substituindo:
Isto responde (a): são as equações paramétricas da reta
.
Passo 4
Encontrar a interseção de
com o plano
(item (b)). Para isso, substituímos as paramétricas de
na equação do plano e resolvemos para
.
A equação do plano é
. Substituindo
,
,
:
Agora desenvolve cada termo:
Agrupando constantes e termos em
:
Isolando
:
Passo 5
Com
obtemos as coordenadas do ponto de interseção substituindo nas paramétricas:
Portanto a reta
intercepta
no ponto
.
Passo 6
Encontrar a interseção de
com o plano
(item (c)). O plano
é dado por
. Usamos a paramétrica de
:
. Igualando a zero:
Substitui
nas paramétricas para achar
e
:
Logo a reta
intercepta o plano
no ponto
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)