Um carro percorre uma curva cuja posição em cada instante é dada por \sigma(t)=(x(t), y(t), z(t)) de modo que sua aceleração é \sigma^{\prime \prime}(t)=2 \sigma^{\prime}(t)-\sigma(t), para todo t \in \mathbb{R}. Sabendo-se que ele parte do ponto P=(1,0,1) e com velocidade inicial v_{0}=(2,1,2) :
(a) Determine a sua posição \sigma(t) em cada instante.
(b) Verifique se existe uma reta tangente à curva que seja paralela à reta (x, y, z)=(1,2,3)+ t(1,0,3).
(Respostas)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo pegado do enunciado):
  • A curva do carro é dada por \sigma(t)=(x(t),y(t),z(t)) para t\in\mathbb{R}.
  • A aceleração satisfaz a equação vetorial
\sigma''(t)=2\sigma'(t)-\sigma(t),\qquad\text{para todo }t\in\mathbb{R}.
  • Condições iniciais: a posição inicial é \sigma(0)=P=(1,0,1) e a velocidade inicial é \sigma'(0)=v_0=(2,1,2).
  • Perguntas:
    (a) Determinar \sigma(t) para todo t.
    (b) Verificar se existe algum instante t em que a reta tangente à curva seja paralela à reta (x,y,z)=(1,2,3)+s(1,0,3).

Passo 2

Comentário didático sobre o método para (a): estamos diante de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes aplicada a um vetor. Esse tipo de equação se resolve componente a componente usando a mesma equação escalar. Escrevemos a equação como
\sigma''(t)-2\sigma'(t)+\sigma(t)=0.
Para a equação escalar correspondente u''-2u'+u=0 procuramos soluções do tipo u(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^2-2r+1=0.
Calculando as raízes temos
r^2-2r+1=(r-1)^2,
ou seja, há uma única raiz real r=1 de multiplicidade 2. Quando a raiz r é dupla, a solução geral escalar é
u(t)=\big(A+Bt\big)e^{t},
onde A,B são constantes escalares. Como a equação original vale componente a componente, a solução vetorial terá a mesma forma com constantes vetoriais.

Passo 3

Escrevendo a solução vetorial geral: existem vetores constantes \mathbf{A} e \mathbf{B} tais que
\sigma(t)=\big(\mathbf{A}+\mathbf{B}\,t\big)e^{t}.
Vamos calcular \sigma'(t) e \sigma''(t) para entender e para aplicar condições iniciais. Diferenciando produto por e^{t}:
\sigma'(t)=\big(\mathbf{A}+\mathbf{B}t\big)e^{t}+\mathbf{B}e^{t}=e^{t}\big(\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{B}t\big).
Diferenciando de novo:
\sigma''(t)=e^{t}\big(\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{B}t\big)+e^{t}\mathbf{B}=e^{t}\big(\mathbf{A}+2\mathbf{B}+\mathbf{B}t\big).
(Verificação rápida: essas expressões satisfazem \sigma''-2\sigma'+\sigma=0, por construção do método.)

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar \mathbf{A} e \mathbf{B}.
  • Em t=0 temos \sigma(0)=(\mathbf{A}+\mathbf{B}\cdot 0)e^{0}=\mathbf{A}. Pelo enunciado \sigma(0)=P=(1,0,1). Logo
\mathbf{A}=(1,0,1).
  • Em t=0 a velocidade é \sigma'(0)=e^{0}\big(\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{B}\cdot 0\big)=\mathbf{A}+\mathbf{B}. Pelo enunciado \sigma'(0)=v_0=(2,1,2). Então
\mathbf{A}+\mathbf{B}=(2,1,2).
Substituindo \mathbf{A}=(1,0,1) obtemos
\mathbf{B}=(2,1,2)-(1,0,1)=(1,1,1).

Passo 5

Com \mathbf{A} e \mathbf{B} encontrados, escrevemos a posição explicitamente:
\sigma(t)=\big((1,0,1)+(1,1,1)\,t\big)e^{t}=e^{t}\big(1+t,\;t,\;1+t\big).
Isto dá as componentes:
x(t)=e^{t}(1+t),\qquad y(t)=e^{t}t,\qquad z(t)=e^{t}(1+t).
Pequena interpretação: as componentes x e z são iguais para todo t, por isso a curva tem simetria nessas coordenadas.

Passo 6

Agora a parte (b): a reta dada tem vetor diretor \mathbf{u}=(1,0,3). Uma reta tangente à curva em t tem direção dada por \sigma'(t). Assim, para que a reta tangente seja paralela à reta dada precisamos de \sigma'(t) paralelo a \mathbf{u}, isto é, existe escalar \lambda tal que
\sigma'(t)=\lambda\mathbf{u}.
Vamos escrever \sigma'(t) explicitamente a partir da solução encontrada. Usando a expressão do passo 3 com \mathbf{A}=(1,0,1) e \mathbf{B}=(1,1,1):
\sigma'(t)=e^{t}\big(\mathbf{A}+\mathbf{B}+\mathbf{B}t\big)=e^{t}\big((1,0,1)+(1,1,1)+(1,1,1)t\big).
Somando vetores:
\mathbf{A}+\mathbf{B}=(2,1,2),
portanto
\sigma'(t)=e^{t}\big(2+t,\;1+t,\;2+t\big).

Passo 7

Condição de paralelismo: como e^{t}>0 para todo t, podemos dividir por e^{t} e buscar \lambda tal que
(2+t,\;1+t,\;2+t)=\lambda(1,0,3).
Isto dá o sistema de equações escalares
2+t=\lambda,\qquad 1+t=0,\qquad 2+t=3\lambda.
Da segunda equação vem 1+t=0\Rightarrow t=-1. Substituindo em 2+t=\lambda obtemos \lambda=1. Mas substituindo t=-1 em 2+t obtemos 2+(-1)=1, enquanto a terceira equação pede 2+t=3\lambda, ou seja 1=3\cdot 1=3, o que é impossível. Portanto não existe escalar \lambda que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Conclusão: não existe instante t tal que \sigma'(t) seja paralelo a \mathbf{u}=(1,0,3).

Resposta

(a) \sigma(t)=e^{t}\big(1+t,\;t,\;1+t\big).
(b) Não existe; não há nenhum instante t em que a reta tangente seja paralela à reta dada.

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