Um carro percorre uma curva cuja posição em cada instante é dada por
de modo que sua aceleração é
, para todo
. Sabendo-se que ele parte do ponto
e com velocidade inicial
:
(a) Determine a sua posição
em cada instante.
(b) Verifique se existe uma reta tangente à curva que seja paralela à reta
.
(Respostas)
(a) Determine a sua posição
(b) Verifique se existe uma reta tangente à curva que seja paralela à reta
(Respostas)
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo pegado do enunciado):
- A curva do carro é dada por
para . - A aceleração satisfaz a equação vetorial
- Condições iniciais: a posição inicial é
e a velocidade inicial é . - Perguntas:
(a) Determinarpara todo .
(b) Verificar se existe algum instanteem que a reta tangente à curva seja paralela à reta
Passo 2
Comentário didático sobre o método para (a): estamos diante de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes aplicada a um vetor. Esse tipo de equação se resolve componente a componente usando a mesma equação escalar. Escrevemos a equação como
Para a equação escalar correspondente
procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos o polinômio característico
Calculando as raízes temos
ou seja, há uma única raiz real
de multiplicidade
. Quando a raiz
é dupla, a solução geral escalar é
onde
são constantes escalares. Como a equação original vale componente a componente, a solução vetorial terá a mesma forma com constantes vetoriais.
Passo 3
Escrevendo a solução vetorial geral: existem vetores constantes
e
tais que
Vamos calcular
e
para entender e para aplicar condições iniciais. Diferenciando produto por
:
Diferenciando de novo:
(Verificação rápida: essas expressões satisfazem
, por construção do método.)
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
- Em
temos . Pelo enunciado . Logo
- Em
a velocidade é . Pelo enunciado . Então
Substituindo
obtemos
Passo 5
Com
e
encontrados, escrevemos a posição explicitamente:
Isto dá as componentes:
Pequena interpretação: as componentes
e
são iguais para todo
, por isso a curva tem simetria nessas coordenadas.
Passo 6
Agora a parte (b): a reta dada tem vetor diretor
. Uma reta tangente à curva em
tem direção dada por
. Assim, para que a reta tangente seja paralela à reta dada precisamos de
paralelo a
, isto é, existe escalar
tal que
Vamos escrever
explicitamente a partir da solução encontrada. Usando a expressão do passo 3 com
e
:
Somando vetores:
portanto
Passo 7
Condição de paralelismo: como
para todo
, podemos dividir por
e buscar
tal que
Isto dá o sistema de equações escalares
Da segunda equação vem
. Substituindo em
obtemos
. Mas substituindo
em
obtemos
, enquanto a terceira equação pede
, ou seja
, o que é impossível. Portanto não existe escalar
que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Conclusão: não existe instante
tal que
seja paralelo a
.
Resposta
(a)
.
(b) Não existe; não há nenhum instante
em que a reta tangente seja paralela à reta dada.