Identifique e esboce o gráfico das superfícies destacando os traços com os planos coordenados:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Identificar qual é a superfície descrita pela equação
. - Esboçar o gráfico dessa superfície destacando os traços (interseções) com os planos coordenados
(ou ), (ou ) e (ou ).
Informações dadas:
- A equação da superfície é
.
Passo 2
Primeiro passo para entender a forma: escrever a equação de modo mais claro, isolando os termos positivos e negativos. Reescrevemos:
ou, mais conveniente,
Aqui a variável
aparece com coeficiente positivo e
e
com coeficientes negativos. Isso já é uma pista sobre a família de quadricas a que a superfície pertence: uma forma quadrática centrada na origem (não há termos lineares nem termo misto), logo a superfície é simétrica em relação à origem e aos eixos coordenados.
Passo 3
Vamos analisar cortes (seções) da superfície por planos paralelos aos planos coordenados para ver a forma em fatias:
- Cortando por um plano
, digamos , substituímos na equação e obtemos:
ou equivalentemente
Isso diz o seguinte: para um dado
real, as seções com o plano
são círculos de raio
, desde que
. Portanto só existem pontos reais quando
. Para
a seção é vazia (não há pontos reais).
Conclusão desta análise: a superfície existe apenas para
. Para
a seção é um círculo de raio zero (um ponto): os pontos
e
. Para
as seções transversais são círculos com raio crescente quando
aumenta. Isso descreve duas napas (folhas) separadas, uma acima (para
) e outra abaixo (para
). Logo a superfície é um hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo do eixo
.
Passo 4
Agora vamos calcular explicitamente os traços com os planos coordenados pedidos:
- Traço com o plano
(plano ):
Substituindona equação obtemos
Isto é uma hipérbole no plano
(plano
), com eixos ao longo de
e
. Suas vértices estão em
e suas assíntotas são as retas
no plano
.
- Traço com o plano
(plano ):
Substituindoobtemos
Novamente uma hipérbole no plano
(plano
), com vértices em
e assíntotas
naquele plano.
- Traço com o plano
(plano ):
Substituindoobtemos
ou
que não tem solução em números reais. Logo não há interseção real entre a superfície e o plano
: o plano
corta a região sem pontos reais da superfície (a superfície está “separada” do plano
, porque as folhas ficam em
).
Passo 5
Interpretação geométrica e como esboçar passo a passo (dicas práticas para fazer rápido na prova):
- Desenhe três eixos coordenados
, , . Habitualmente coloca-se vertical para evidenciar que a superfície tem eixo no . - Marque os pontos
e : são os pontos mais estreitos das duas folhas (vértices). - Para algumas alturas
maiores que e menores que desenhe círculos centrados em de raio . Exemplo rápido: para o raio é (cerca de ); para mesmo raio. Esses círculos mostram que as folhas se abrem conforme nos afastamos de . - No plano
desenhe a hipérbole (abertura ao longo de ) passando pelos vértices e com assíntotas . Isso é o traço do “meio” da superfície visto de frente. - No plano
desenhe a hipérbole (idem). - Não espere encontrar nada no plano
: deixe-o sem interseção. - Ligue suavemente os círculos transversais para formar duas superfícies fechadas (cada folha é contínua em
ou ). Cada folha é semelhante a um “copinho” que se abre conforme aumenta.
Passo 6
Resumo das propriedades úteis para reconhecimento rápido na prova (mini-aula rápida):
- Uma quadricada centrada e canônica com sinal
à direita de com lado direito positivo (aqui ) corresponde a um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo é a direção da variável com sinal positivo (aqui o eixo ). - Para identificar presença de folhas, isolar uma variável:
revelou domínio . - Traços com planos coordenados são obtidos substituindo a coordenada correspondente por zero e analisando a conic resultante (hipérbole, elipse, círculo ou vazio).
Resposta
Hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo do eixo
.
Traços: no plano a interseção é a hipérbole
; no plano
a interseção é a hipérbole
; no plano
não há interseção real (equação
sem solução).
Traços: no plano