Identifique e esboce o gráfico das superfícies destacando os traços com os planos coordenados:
-x^{2}+y^{2}-z^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Identificar qual é a superfície descrita pela equação -x^{2}+y^{2}-z^{2}=1.
  • Esboçar o gráfico dessa superfície destacando os traços (interseções) com os planos coordenados xy (ou z=0), xz (ou y=0) e yz (ou x=0).
Informações dadas:
  • A equação da superfície é -x^{2}+y^{2}-z^{2}=1.

Passo 2

Primeiro passo para entender a forma: escrever a equação de modo mais claro, isolando os termos positivos e negativos. Reescrevemos:
-y^{2}+x^{2}+z^{2}=-1
ou, mais conveniente,
y^{2}-x^{2}-z^{2}=1.
Aqui a variável y aparece com coeficiente positivo e x e z com coeficientes negativos. Isso já é uma pista sobre a família de quadricas a que a superfície pertence: uma forma quadrática centrada na origem (não há termos lineares nem termo misto), logo a superfície é simétrica em relação à origem e aos eixos coordenados.

Passo 3

Vamos analisar cortes (seções) da superfície por planos paralelos aos planos coordenados para ver a forma em fatias:
  • Cortando por um plano y=\text{constante}, digamos y=y_0, substituímos na equação e obtemos:
-x^{2}-z^{2}=1-y_0^{2}
ou equivalentemente
x^{2}+z^{2}=y_0^{2}-1.
Isso diz o seguinte: para um dado y_0 real, as seções com o plano y=y_0 são círculos de raio r=\sqrt{y_0^{2}-1}, desde que y_0^{2}-1\ge 0. Portanto só existem pontos reais quando |y_0|\ge 1. Para |y_0|<1 a seção é vazia (não há pontos reais).
Conclusão desta análise: a superfície existe apenas para |y|\ge 1. Para y= \pm 1 a seção é um círculo de raio zero (um ponto): os pontos (0,1,0) e (0,-1,0). Para |y|>1 as seções transversais são círculos com raio crescente quando |y| aumenta. Isso descreve duas napas (folhas) separadas, uma acima (para y\ge 1) e outra abaixo (para y\le -1). Logo a superfície é um hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo do eixo y.

Passo 4

Agora vamos calcular explicitamente os traços com os planos coordenados pedidos:
  • Traço com o plano z=0 (plano xy):
    Substituindo z=0 na equação obtemos
-y^{2}+x^{2}= -1 \quad\text{ou}\quad y^{2}-x^{2}=1.
Isto é uma hipérbole no plano z=0 (plano xy), com eixos ao longo de y e x. Suas vértices estão em (0,\pm 1,0) e suas assíntotas são as retas y=\pm x no plano z=0.
  • Traço com o plano x=0 (plano yz):
    Substituindo x=0 obtemos
y^{2}-z^{2}=1.
Novamente uma hipérbole no plano x=0 (plano yz), com vértices em (0,\pm 1,0) e assíntotas y=\pm z naquele plano.
  • Traço com o plano y=0 (plano xz):
    Substituindo y=0 obtemos
-x^{2}-z^{2}=1
ou
x^{2}+z^{2}=-1,
que não tem solução em números reais. Logo não há interseção real entre a superfície e o plano y=0: o plano y=0 corta a região sem pontos reais da superfície (a superfície está “separada” do plano y=0, porque as folhas ficam em |y|\ge1).

Passo 5

Interpretação geométrica e como esboçar passo a passo (dicas práticas para fazer rápido na prova):
  1. Desenhe três eixos coordenados x, y, z. Habitualmente coloca-se y vertical para evidenciar que a superfície tem eixo no y.
  2. Marque os pontos (0,1,0) e (0,-1,0): são os pontos mais estreitos das duas folhas (vértices).
  3. Para algumas alturas y maiores que 1 e menores que -1 desenhe círculos centrados em (0,y,0) de raio r=\sqrt{y^{2}-1}. Exemplo rápido: para y=2 o raio é r=\sqrt{4-1}=\sqrt{3} (cerca de 1{,}73); para y=-2 mesmo raio. Esses círculos mostram que as folhas se abrem conforme nos afastamos de y=\pm1.
  4. No plano z=0 desenhe a hipérbole y^{2}-x^{2}=1 (abertura ao longo de y) passando pelos vértices (0,\pm1,0) e com assíntotas y=\pm x. Isso é o traço do “meio” da superfície visto de frente.
  5. No plano x=0 desenhe a hipérbole y^{2}-z^{2}=1 (idem).
  6. Não espere encontrar nada no plano y=0: deixe-o sem interseção.
  7. Ligue suavemente os círculos transversais para formar duas superfícies fechadas (cada folha é contínua em y\ge1 ou y\le-1). Cada folha é semelhante a um “copinho” que se abre conforme |y| aumenta.

Passo 6

Resumo das propriedades úteis para reconhecimento rápido na prova (mini-aula rápida):
  • Uma quadricada centrada e canônica com sinal (+,-,-) à direita de = com lado direito positivo (aqui =1) corresponde a um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo é a direção da variável com sinal positivo (aqui o eixo y).
  • Para identificar presença de folhas, isolar uma variável: x^{2}+z^{2}=y^{2}-1 revelou domínio |y|\ge1.
  • Traços com planos coordenados são obtidos substituindo a coordenada correspondente por zero e analisando a conic resultante (hipérbole, elipse, círculo ou vazio).

Resposta

Hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo do eixo y.
Traços: no plano z=0 a interseção é a hipérbole y^{2}-x^{2}=1; no plano x=0 a interseção é a hipérbole y^{2}-z^{2}=1; no plano y=0 não há interseção real (equação x^{2}+z^{2}=-1 sem solução).

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