Determine as equações
Plano passando por P_{0}=(1,3,-2) gerado por \vec{v}_{1}= (-2,3,1) e \vec{v}_{2}=(2,1,-3)

Passo 1

O enunciado dá um ponto e dois vetores geradores e pede as equações do plano. Dados (pegos do enunciado):
  • Ponto P_{0}=(1,3,-2).
  • Vetores geradores \vec{v}_{1}=(-2,3,1) e \vec{v}_{2}=(2,1,-3).
O que se quer: escrever as equações do plano que passa por P_{0} e é gerado por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}. Vou entregar a apresentação em forma paramétrica (vetorial e escalar) e em forma cartesiana (implícita).

Passo 2

Fórmula geral (explicação didática): um plano que passa por um ponto P_{0} com posição \vec{r}_{0} e é gerado por dois vetores diretores \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} tem equação vetorial
\vec{r}=\vec{r}_{0}+s\,\vec{v}_{1}+t\,\vec{v}_{2},
onde \vec{r}=(x,y,z) representa um ponto genérico do plano e s,t\in\mathbb{R} são parâmetros que “varrem” o plano. Aqui:
  • \vec{r}_{0} é o vetor posição de P_{0}.
  • s e t são números reais que combinam os vetores geradores.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os dados:
\vec{r}=(1,3,-2)+s(-2,3,1)+t(2,1,-3).
Isto é a equação vetorial paramétrica do plano. Explicando: para cada par (s,t) obtém-se um ponto do plano.

Passo 4

Converter para equações escalares (componentes):
\begin{cases} x=1-2s+2t,\\[4pt] y=3+3s+t,\\[4pt] z=-2+s-3t, \end{cases}
onde s,t\in\mathbb{R}. Estas três igualdades juntas descrevem o mesmo plano, mas em forma paramétrica componente a componente.]

Passo 5

Para obter a forma cartesiana implícita do plano precisamos de um vetor normal \vec{n} ao plano. Explicação do conceito: o vetor normal é um vetor perpendicular a qualquer vetor do plano; portanto é ortogonal a \vec{v}_{1} e a \vec{v}_{2}. Uma forma prática de obter \vec{n} é o produto vetorial (cross product):
\vec{n}=\vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2}.
O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 produz um vetor perpendicular aos dois.

Passo 6

Calcular \vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2} passo a passo (usando determinante):
\vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -2 & 3 & 1 \\\\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix}.
Cálculo das componentes:
  • Componente em \mathbf{i}: 3\cdot(-3)-1\cdot1=-9-1=-10.
  • Componente em \mathbf{j}: -2\cdot(-3)-1\cdot2=6-2=4. Lembrar do sinal negativo na componente \mathbf{j} do determinante, então fica -4.
  • Componente em \mathbf{k}: -2\cdot1-3\cdot2=-2-6=-8.
Portanto
\vec{v}_{1}\times\vec{v}_{2}=(-10,-4,-8).

Passo 7

Escalonamento do vetor normal (observação prática): qualquer múltiplo não nulo de um vetor normal também é normal ao plano, então podemos simplificar (-10,-4,-8) dividindo por -2 para obter um vetor inteiro e mais simples:
\vec{n}=(5,2,4).
Ambos são normais válidos; escolhe-se \vec{n}=(5,2,4) por conveniência.

Passo 8

Forma cartesiana (fórmula e explicação): se \vec{n}=(a,b,c) é normal ao plano e P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) é um ponto do plano, a equação implícita do plano é
\vec{n}\cdot(\,(x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})\,)=0,
ou seja
a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0.
Aqui a=5, b=2, c=4 e (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,3,-2).

Passo 9

Substituir e expandir para obter a equação final:
5(x-1)+2(y-3)+4(z+2)=0.
Expandindo:
5x-5+2y-6+4z+8=0.
Somando as constantes:
5x+2y+4z-3=0.
Verificação rápida (didática): substituir P_{0}=(1,3,-2) nesta equação dá 5\cdot1+2\cdot3+4\cdot(-2)-3=5+6-8-3=0, então o ponto pertence ao plano. Também \vec{n}\cdot\vec{v}_{1}=5(-2)+2(3)+4(1)=-10+6+4=0 e \vec{n}\cdot\vec{v}_{2}=5(2)+2(1)+4(-3)=10+2-12=0, confirmando que \vec{n} é ortogonal a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.

Resposta

\vec{r}=(1,3,-2)+s(-2,3,1)+t(2,1,-3),\quad s,t\in\mathbb{R}
\begin{cases} x=1-2s+2t,\\[4pt] y=3+3s+t,\\[4pt] z=-2+s-3t, \end{cases}
5x+2y+4z-3=0]

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