Determine as equações
Plano passando por P_{0}=(-3,1,-2) gerado por \vec{v}_{1}= (0,3,1) e \vec{v}_{2}=(2,1,4)

Passo 1

O enunciado dá um ponto e dois vetores geradores do plano. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede (sem resolver ainda):
  • Ponto pelo qual o plano passa: \,P_{0}=(-3,1,-2).
  • Vetores geradores do plano: \,\vec{v}_{1}=(0,3,1) e \,\vec{v}_{2}=(2,1,4).
  • O que se pede: determinar as equações do plano gerado por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} que passa por P_{0}. Vou apresentar (i) a forma paramétrica (vetorial e por componentes) e (ii) a forma cartesiana (equação do tipo ax+by+cz+d=0).

Passo 2

Conceito e forma paramétrica: se um plano passa por um ponto \,P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) e é gerado por dois vetores \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}, então qualquer ponto (x,y,z) do plano pode ser escrito como
\vec{r}=\vec{r_0}+s\,\vec{v}_1+t\,\vec{v}_2,
onde \vec{r}=(x,y,z), \vec{r_0}=(x_0,y_0,z_0) e s,t\in\mathbb{R} são parâmetros. Isso é a forma vetorial paramétrica do plano.
Aplicando aos dados: \vec{r_0}=(-3,1,-2), \vec{v}_1=(0,3,1), \vec{v}_2=(2,1,4). Logo a forma vetorial é
\vec{r}=(-3,1,-2)+s\,(0,3,1)+t\,(2,1,4),\qquad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Converter para as equações por componentes (forma paramétrica escalar): basta somar componente a componente. Escrevendo \vec{r}=(x,y,z)\) obtemos \[\begin{cases} x=-3+0\cdot s+2\cdot t,\\[4pt] y=1+3\cdot s+1\cdot t,\\[4pt] z=-2+1\cdot s+4\cdot t. \end{cases}
Simplificando:
\begin{cases} x=-3+2t,\\[4pt] y=1+3s+t,\\[4pt] z=-2+s+4t, \end{cases}\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Aqui está a forma paramétrica em componentes; é muito útil na prova porque dá explicitamente x,y,z\] em função dos parâmetros \(s,t.]

Passo 4

Para obter a equação cartesiana precisamos de um vetor normal \vec{n} ao plano (um vetor perpendicular a \vec{v}_1 e a \vec{v}_2). O produto vetorial dá exatamente isso: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1).
Vou aplicar com \vec{a}=\vec{v}_1=(0,3,1) e \vec{b}=\vec{v}_2=(2,1,4).

Passo 5

Cálculo do produto vetorial passo a passo:
  • Componente x:
a_2b_3-a_3b_2 = 3\cdot4 - 1\cdot1 = 12-1 = 11.
  • Componente y:
a_3b_1-a_1b_3 = 1\cdot2 - 0\cdot4 = 2 - 0 = 2.
  • Componente z:
a_1b_2-a_2b_1 = 0\cdot1 - 3\cdot2 = 0 - 6 = -6.
Portanto o vetor normal é
\vec{n}=(11,2,-6).
Explicação rápida do que isto significa: \vec{n} é perpendicular a \vec{v}_1 e a \vec{v}_2, então \vec{n}\cdot\vec{v}_1=0 e \vec{n}\cdot\vec{v}_2=0. Esse \vec{n} servirá para escrever a equação cartesiana do plano.

Passo 6

Fórmula da equação cartesiana: se \vec{n}=(a,b,c) é normal e o plano passa por (x_0,y_0,z_0), então
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui a=11, b=2, c=-6 e (x_0,y_0,z_0)=(-3,1,-2). Substituindo:
11(x-(-3))+2(y-1)-6(z-(-2))=0.
Em forma mais clara:
11(x+3)+2(y-1)-6(z+2)=0.

Passo 7

Expandir e simplificar a equação cartesiana passo a passo:
Primeiro expandindo:
11x+33+2y-2-6z-12=0.
Somando as constantes:
11x+2y-6z+(33-2-12)=11x+2y-6z+19=0.
Verificação rápida (bom hábito na prova): substituindo o ponto P_{0}=(-3,1,-2) na equação obtemos
11(-3)+2(1)-6(-2)+19=-33+2+12+19=0,
portanto a equação está correta.

Passo 8

Opcional — forma simétrica (eliminar parâmetros): a partir de x=-3+2t obtemos t=\dfrac{x+3}{2}. Substitindo em y e z poderíamos expressar s e checar a consistência; isso retorna à mesma equação cartesiana. Não é necessário para a prova, mas é útil saber que todas essas formas são equivalentes.

Resposta

Forma vetorial paramétrica:
\vec{r}=(-3,1,-2)+s\,(0,3,1)+t\,(2,1,4),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Forma paramétrica por componentes:
\begin{cases} x=-3+2t,\\[4pt] y=1+3s+t,\\[4pt] z=-2+s+4t, \end{cases}\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Equação cartesiana:
11x+2y-6z+19=0.]

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