Determine as equações
Reta passando por P_{0}=(4,1,3) gerada por \vec{v}=(-3,2,1)

Passo 1

O enunciado pede encontrar as equações da reta que passa por P_{0}=(4,1,3) e é gerada pelo vetor diretor \vec{v}=(-3,2,1).
Informações dadas:
  • Ponto que pertence à reta: P_{0}=(4,1,3).
  • Vetor diretor da reta: \vec{v}=(-3,2,1).
O que vou apresentar (formas comuns de escrever uma reta em \mathbb{R}^3):
  • Equação vetorial (ou geométrica): \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\vec{v}.
  • Equações paramétricas: expressões de x,y,z em função de um parâmetro t.
  • Equação simétrica: eliminando o parâmetro t entre as paramétricas.

Passo 2

Fórmula e significado da equação vetorial da reta:
A equação vetorial de uma reta que passa por um ponto P_{0} com vetor posição \mathbf{r}_0 e vetor diretor \vec{v} é
\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\vec{v},
onde:
  • \mathbf{r}=(x,y,z) é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta;
  • \mathbf{r}_0 é o vetor posição do ponto dado P_{0};
  • t\in\mathbb{R} é o parâmetro (cada valor de t gera um ponto da reta);
  • \vec{v} é o vetor diretor que indica a direção da reta.
Para P_{0}=(4,1,3) o vetor posição é \mathbf{r}_0=\langle 4,1,3\rangle. Substituindo \vec{v}=\langle -3,2,1\rangle obtemos a equação vetorial:
\mathbf{r}=\langle 4,1,3\rangle + t\langle -3,2,1\rangle,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Como obter as equações paramétricas:
A equação vetorial significa que, componente a componente,
(x,y,z)=(4,1,3)+t(-3,2,1).
Igualando cada componente obtemos as paramétricas:
x=4-3t, \qquad y=1+2t, \qquad z=3+t, \qquad t\in\mathbb{R}.
Explicação didática: cada pequena variação t multiplica o vetor diretor \langle -3,2,1\rangle e desloca o ponto P_{0}. Por exemplo, para t=0 recupera-se P_{0} pois
x(0)=4,\quad y(0)=1,\quad z(0)=3.
Para t=1 obtém-se o ponto
x(1)=1,\quad y(1)=3,\quad z(1)=4,
ou seja, o ponto (1,3,4) está na reta — é o resultado de somar o vetor diretor uma vez a P_{0}.

Passo 4

Obtendo a equação simétrica:
Das paramétricas isolamos t em cada uma:
t=\frac{x-4}{-3},\qquad t=\frac{y-1}{2},\qquad t=\frac{z-3}{1}.
Igualando essas expressões para t obtemos a forma simétrica da reta:
\frac{x-4}{-3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{1}.
Observação didática: às vezes convém simplificar o sinal no primeiro quociente para ficar mais agradável visualmente; por exemplo, multiplicando todos os termos por -1 no primeiro quociente pode escrever-se também
\frac{4-x}{3}=\frac{y-1}{2}=z-3,
mas a forma original \dfrac{x-4}{-3}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-3}{1} é perfeitamente correta. Importante: a forma simétrica só é aplicável quando os componentes do vetor diretor não são zero — aqui todos são diferentes de zero, então tudo bem.

Passo 5

Resumo prático e verificação rápida:
  • Usar a equação vetorial é a maneira mais direta e segura: \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\vec{v}.
  • Das componentes da equação vetorial obtém-se as paramétricas e, se possível, a simétrica.
  • Verificação: substituir t=0 nas paramétricas dá P_{0}. Substituir t=1 (1,3,4), que também pertence à reta — isso confirma coerência.

Resposta

\mathbf{r}=\langle 4,1,3\rangle + t\langle -3,2,1\rangle,\qquad t\in\mathbb{R}
x=4-3t,\quad y=1+2t,\quad z=3+t,\qquad t\in\mathbb{R}
\frac{x-4}{-3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{1}

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