Determine as equações
Reta passando por
gerada por
Reta passando por
Passo 1
O enunciado pede encontrar as equações da reta que passa por
e é gerada pelo vetor diretor
.
Informações dadas:
- Ponto que pertence à reta:
. - Vetor diretor da reta:
.
O que vou apresentar (formas comuns de escrever uma reta em
):
- Equação vetorial (ou geométrica):
. - Equações paramétricas: expressões de
em função de um parâmetro . - Equação simétrica: eliminando o parâmetro
entre as paramétricas.
Passo 2
Fórmula e significado da equação vetorial da reta:
A equação vetorial de uma reta que passa por um ponto
com vetor posição
e vetor diretor
é
onde:
-
é o vetor posição genérico de um ponto qualquer da reta; -
é o vetor posição do ponto dado ; -
é o parâmetro (cada valor de gera um ponto da reta); -
é o vetor diretor que indica a direção da reta.
Para
o vetor posição é
. Substituindo
obtemos a equação vetorial:
Passo 3
Como obter as equações paramétricas:
A equação vetorial significa que, componente a componente,
Igualando cada componente obtemos as paramétricas:
Explicação didática: cada pequena variação
multiplica o vetor diretor
e desloca o ponto
. Por exemplo, para
recupera-se
pois
Para
obtém-se o ponto
ou seja, o ponto
está na reta — é o resultado de somar o vetor diretor uma vez a
.
Passo 4
Obtendo a equação simétrica:
Das paramétricas isolamos
em cada uma:
Igualando essas expressões para
obtemos a forma simétrica da reta:
Observação didática: às vezes convém simplificar o sinal no primeiro quociente para ficar mais agradável visualmente; por exemplo, multiplicando todos os termos por
no primeiro quociente pode escrever-se também
mas a forma original
é perfeitamente correta. Importante: a forma simétrica só é aplicável quando os componentes do vetor diretor não são zero — aqui todos são diferentes de zero, então tudo bem.
Passo 5
Resumo prático e verificação rápida:
- Usar a equação vetorial é a maneira mais direta e segura:
. - Das componentes da equação vetorial obtém-se as paramétricas e, se possível, a simétrica.
- Verificação: substituir
nas paramétricas dá . Substituir dá , que também pertence à reta — isso confirma coerência.