Determine equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação no ponto
:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dá a superfície implícita definida por
. - Dá o ponto
que pertence a essa superfície. - Pede:
- a equação do plano tangente à superfície no ponto
; - a equação da reta normal à superfície no ponto
.
- a equação do plano tangente à superfície no ponto
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para uma superfície dada implicitamente por
, o vetor gradiente é um vetor normal à superfície em cada ponto onde é não nulo. - A equação do plano tangente em
é dada por isto é, o produto escalar do vetor normal com um vetor qualquer do plano deve ser zero. - A reta normal em
é a reta que passa por e tem direção dada por . Em forma paramétrica:
Passo 3
Verificar que
pertence à superfície (sempre bom checar):
Calcular
:
Portanto
está na superfície (boa notícia).
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
(ou seja, o gradiente):
Aqui cada componente indica a taxa de variação de
na direção do respectivo eixo; juntas elas formam a direção normal ao nível
.
Passo 5
Avaliar o gradiente em
:
Podemos simplificar esse vetor normal dividindo por
(opcional, mantemos direção):
logo uma direção mais simples é
. Ambas as escolhas representam a mesma direção normal.
Passo 6
Escrever a equação do plano tangente usando o produto escalar:
Substituindo
:
Desenvolvendo:
Dividindo por
para simplificar:
Essa é a forma final e simples do plano tangente.
Passo 7
Equação paramétrica da reta normal:
- Usando a direção simplificada
, a reta normal passando por tem equações paramétricas
(Se preferir a direção não simplificada, pode usar
diferente:
.)
Resposta
Plano tangente:
Reta normal (paramétrica):