Determine equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da equação no ponto P :
9 x^{2}-4 y^{2}-25 z^{2}=40 ; P=(4,1,-2)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dá a superfície implícita definida por 9x^{2}-4y^{2}-25z^{2}=40.
  • Dá o ponto P=(4,1,-2) que pertence a essa superfície.
  • Pede:
    • a equação do plano tangente à superfície no ponto P;
    • a equação da reta normal à superfície no ponto P.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma superfície dada implicitamente por F(x,y,z)=0, o vetor gradiente \nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)é um vetor normal à superfície em cada ponto onde \nabla F é não nulo.
  • A equação do plano tangente em P=(x_0,y_0,z_0) é dada por \nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot\bigl((x,y,z)-(x_0,y_0,z_0)\bigr)=0,isto é, o produto escalar do vetor normal com um vetor qualquer do plano deve ser zero.
  • A reta normal em P é a reta que passa por P e tem direção dada por \nabla F(x_0,y_0,z_0). Em forma paramétrica: (x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t\,\nabla F(x_0,y_0,z_0),\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Verificar que P pertence à superfície (sempre bom checar):
F(x,y,z)=9x^{2}-4y^{2}-25z^{2}-40.
Calcular F(4,1,-2):
F(4,1,-2)=9\cdot 4^{2}-4\cdot 1^{2}-25\cdot(-2)^{2}-40 =9\cdot16-4\cdot1-25\cdot4-40 =144-4-100-40=0.
Portanto P está na superfície (boa notícia).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de F (ou seja, o gradiente):
\frac{\partial F}{\partial x}=18x,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=-8y,\qquad \frac{\partial F}{\partial z}=-50z.
Aqui cada componente indica a taxa de variação de F na direção do respectivo eixo; juntas elas formam a direção normal ao nível F=0.

Passo 5

Avaliar o gradiente em P=(4,1,-2):
\nabla F(4,1,-2)=\bigl(18\cdot4,\;-8\cdot1,\;-50\cdot(-2)\bigr)=(72,\,-8,\,100).
Podemos simplificar esse vetor normal dividindo por 4 (opcional, mantemos direção):
(72,-8,100)=4\cdot(18,-2,25),
logo uma direção mais simples é (18,-2,25). Ambas as escolhas representam a mesma direção normal.

Passo 6

Escrever a equação do plano tangente usando o produto escalar:
\nabla F(4,1,-2)\cdot\bigl((x,y,z)-(4,1,-2)\bigr)=0.
Substituindo \nabla F(4,1,-2)=(72,-8,100):
72(x-4)-8(y-1)+100(z+2)=0.
Desenvolvendo:
72x-288-8y+8+100z+200=0
72x-8y+100z-80=0.
Dividindo por 4 para simplificar:
18x-2y+25z-20=0.
Essa é a forma final e simples do plano tangente.

Passo 7

Equação paramétrica da reta normal:
  • Usando a direção simplificada (18,-2,25), a reta normal passando por P=(4,1,-2) tem equações paramétricas
x=4+18t,\qquad y=1-2t,\qquad z=-2+25t,\qquad t\in\mathbb{R}.
(Se preferir a direção não simplificada, pode usar t diferente: x=4+72s,\;y=1-8s,\;z=-2+100s.)

Resposta

Plano tangente: 18x-2y+25z-20=0
Reta normal (paramétrica): x=4+18t,\;y=1-2t,\;z=-2+25t,\;t\in\mathbb{R}

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