Ache a derivada direcional de f em P na direção indicada: f(x, y, z)=\sqrt{x y} \operatorname{sen}(z) ; P=(4,9, \pi / 4), \vec{u}=(2 \vec{i}+3 \vec{j}-2 \vec{k})
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de f no ponto P na direção indicada. As informações dadas são:
f(x,y,z)=\sqrt{x y}\,\operatorname{sen}(z).
P=(4,9,\pi/4).
o vetor direção \vec{u}=2\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}.
Passo 2
O que é a derivada direcional (uma mini-aula): a derivada direcional de f em P na direção de um vetor \vec{u} mede a taxa de variação de f quando nos deslocamos a partir de P seguindo \vec{u}. Para calcular corretamente precisamos usar o vetor unitário na direção de \vec{u}, que chamamos \hat{u}. A fórmula que usaremos é
D_{\hat{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\hat{u},
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot é o produto escalar. Explicando as peças:
\nabla f(P)=(\partial_x f(P),\partial_y f(P),\partial_z f(P)): é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f avaliadas em P.
Para obter \hat{u} a partir de \vec{u} calcula-se \hat{u}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}, sendo \|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}.
Calcular as derivadas parciais de f. Primeiro reescrevo f de forma conveniente:
f(x,y,z)=(xy)^{1/2}\,\sin z.
Trata-se do produto de g(x,y)=(xy)^{1/2} e h(z)=\sin z. Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivada parcial em relação a x:
\partial_x f(x,y,z)=\partial_x\big((xy)^{1/2}\big)\cdot\sin z.
Agora, \partial_x (xy)^{1/2} pela regra da cadeia: se t=xy então \frac{d}{dx} t^{1/2}=\frac{1}{2}t^{-1/2}\cdot \frac{d}{dx}t. Como \frac{d}{dx}(xy)=y, obtemos
Resumo final: a derivada direcional pedida é o número que encontramos acima. Você pode usar qualquer das formas equivalentes para responder ou para comparar com um valor numérico aproximado (se precisar calcular a olho, \sqrt{2/17} é pequeno, cerca de 0,343, então o resultado é aproximadamente -1{,}629). Vai dar tudo certo na prova — respira, revisa estes passos e pratica mais um ou dois exercícios parecidos!