Ache a derivada direcional de f em P na direção indicada:
f(x, y, z)=\sqrt{x y} \operatorname{sen}(z) ; P=(4,9, \pi / 4), \vec{u}=(2 \vec{i}+3 \vec{j}-2 \vec{k})

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f no ponto P na direção indicada. As informações dadas são:
  • f(x,y,z)=\sqrt{x y}\,\operatorname{sen}(z).
  • P=(4,9,\pi/4).
  • o vetor direção \vec{u}=2\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}.

Passo 2

O que é a derivada direcional (uma mini-aula): a derivada direcional de f em P na direção de um vetor \vec{u} mede a taxa de variação de f quando nos deslocamos a partir de P seguindo \vec{u}. Para calcular corretamente precisamos usar o vetor unitário na direção de \vec{u}, que chamamos \hat{u}. A fórmula que usaremos é
D_{\hat{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\hat{u},
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot é o produto escalar. Explicando as peças:
  • \nabla f(P)=(\partial_x f(P),\partial_y f(P),\partial_z f(P)): é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f avaliadas em P.
  • Para obter \hat{u} a partir de \vec{u} calcula-se \hat{u}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}, sendo \|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}.

Passo 3

Calcular o vetor unitário \hat{u}.
\vec{u}= (2,3,-2)\quad\Rightarrow\quad \|\vec{u}\|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+9+4}=\sqrt{17}.
Logo
\hat{u}=\frac{1}{\sqrt{17}}(2,3,-2)=\left(\frac{2}{\sqrt{17}},\frac{3}{\sqrt{17}},-\frac{2}{\sqrt{17}}\right).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f. Primeiro reescrevo f de forma conveniente:
f(x,y,z)=(xy)^{1/2}\,\sin z.
Trata-se do produto de g(x,y)=(xy)^{1/2} e h(z)=\sin z. Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
  • Derivada parcial em relação a x:
\partial_x f(x,y,z)=\partial_x\big((xy)^{1/2}\big)\cdot\sin z.
Agora, \partial_x (xy)^{1/2} pela regra da cadeia: se t=xy então \frac{d}{dx} t^{1/2}=\frac{1}{2}t^{-1/2}\cdot \frac{d}{dx}t. Como \frac{d}{dx}(xy)=y, obtemos
\partial_x (xy)^{1/2}=\frac{1}{2}(xy)^{-1/2}\cdot y=\frac{y}{2\sqrt{xy}}.
Portanto
\partial_x f(x,y,z)=\frac{y}{2\sqrt{xy}}\sin z.
  • Derivada parcial em relação a y: procedimento análogo (troca de papéis de x e y):
\partial_y f(x,y,z)=\frac{x}{2\sqrt{xy}}\sin z.
  • Derivada parcial em relação a z: aqui (xy)^{1/2} é tratado como constante e \frac{d}{dz}\sin z=\cos z, então
\partial_z f(x,y,z)=\sqrt{xy}\,\cos z.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto P=(4,9,\pi/4). Primeiro computos auxiliares:
\sqrt{xy}\big|_{P}=\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{36}=6, \qquad \sin\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Agora substituo nas fórmulas:
\partial_x f(P)=\frac{y}{2\sqrt{xy}}\sin z\Big|_{P}=\frac{9}{2\cdot6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{9}{12}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{8}.
\partial_y f(P)=\frac{x}{2\sqrt{xy}}\sin z\Big|_{P}=\frac{4}{12}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}.
\partial_z f(P)=\sqrt{xy}\cos z\Big|_{P}=6\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}.

Passo 6

Formar o gradiente em P e calcular o produto escalar com \hat{u}.
\nabla f(P)=\left(\frac{3\sqrt{2}}{8},\;\frac{\sqrt{2}}{6},\;3\sqrt{2}\right).
D_{\hat{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\hat{u} =\left(\frac{3\sqrt{2}}{8}\right)\frac{2}{\sqrt{17}} +\left(\frac{\sqrt{2}}{6}\right)\frac{3}{\sqrt{17}} +\left(3\sqrt{2}\right)\left(-\frac{2}{\sqrt{17}}\right).
Coloco fator comum \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}}:
D_{\hat{u}}f(P)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}}\left(\frac{3}{8}\cdot 2+\frac{1}{6}\cdot 3+3\cdot(-2)\right).
Calculo os coeficientes dentro do parêntese:
\frac{3}{8}\cdot 2=\frac{3}{4},\qquad \frac{1}{6}\cdot 3=\frac{1}{2},\qquad 3\cdot(-2)=-6.
Somando:
\frac{3}{4}+\frac{1}{2}-6=\frac{3}{4}+\frac{2}{4}-\frac{24}{4}=\frac{5}{4}-\frac{24}{4}=-\frac{19}{4}.
Portanto
D_{\hat{u}}f(P)=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}}\left(-\frac{19}{4}\right)=-\frac{19}{4}\,\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}}.
Uma forma equivalente é
D_{\hat{u}}f(P)=-\frac{19}{4}\sqrt{\frac{2}{17}}.

Passo 7

Resumo final: a derivada direcional pedida é o número que encontramos acima. Você pode usar qualquer das formas equivalentes para responder ou para comparar com um valor numérico aproximado (se precisar calcular a olho, \sqrt{2/17} é pequeno, cerca de 0,343, então o resultado é aproximadamente -1{,}629). Vai dar tudo certo na prova — respira, revisa estes passos e pratica mais um ou dois exercícios parecidos!

Resposta

-\dfrac{19}{4}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{17}} = -\dfrac{19}{4}\sqrt{\dfrac{2}{17}}

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