Ache a derivada direcional de f em P na direção indicada:
f(x, y, z)=x^{2}+3 y z+4 x y ; P=(1,0,-5), \vec{u}=(2 \vec{i}-3 \vec{j}+\vec{k})

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x^{2}+3yz+4xy, o ponto P=(1,0,-5) e o vetor de direção \vec{u}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}.
A pergunta é: achar a derivada direcional de f em P na direção indicada por \vec{u}.
Informações relevantes que temos:
  • A função f e seus termos (podem gerar derivadas parciais).
  • O ponto onde a derivada direcional deve ser avaliada: P=(1,0,-5).
  • O vetor direção \vec{u}=(2,-3,1) (note que ele precisa ser transformado num vetor unitário para usar a fórmula padrão).

Passo 2

Definição prática que vamos usar (forma que costuma cair na prova): a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \hat{u} é o produto escalar entre o gradiente de f em P e \hat{u}:
D_{\hat{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\hat{u}.
Explicando com calma:
  • \nabla f é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais de f: \nabla f=(f_x,f_y,f_z). Cada componente mostra a taxa de variação de f quando só uma variável muda.
  • \hat{u} é o vetor direção normalizado (módulo igual a 1). Se for usado um vetor não unitário, o resultado precisa ser ajustado; por isso sempre normalizar.
  • O produto escalar combina a informação do gradiente com a direção desejada para dar a taxa de variação por unidade de comprimento na direção escolhida.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (vou explicar termo a termo):
  • Para f_x (derivada de f em relação a x): derivada de x^{2} é 2x; de 3yz em relação a x é 0 (não depende de x); de 4xy em relação a x é 4y. Logo
f_x = 2x+4y.
  • Para f_y: derivada de x^{2} em relação a y é 0; de 3yz é 3z; de 4xy é 4x. Logo
f_y = 3z+4x.
  • Para f_z: derivada de x^{2} e 4xy em relação a z é 0; de 3yz é 3y. Logo
f_z = 3y.

Passo 4

Avaliar o gradiente em P=(1,0,-5). Substituindo:
  • f_x(1,0,-5)=2\cdot 1 + 4\cdot 0 = 2.
  • f_y(1,0,-5)=3\cdot(-5) + 4\cdot 1 = -15 + 4 = -11.
  • f_z(1,0,-5)=3\cdot 0 = 0.
    Portanto
\displaystyle \nabla f(P) = (2,\,-11,\,0).

Passo 5

Normalizar o vetor direção \vec{u}=(2,-3,1). Primeiro o módulo:
\|\vec{u}\|=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}.
O vetor unitário correspondente é
\hat{u}=\frac{1}{\sqrt{14}}\,(2,\,-3,\,1)=\left(\frac{2}{\sqrt{14}},\,-\frac{3}{\sqrt{14}},\,\frac{1}{\sqrt{14}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
D_{\hat{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\hat{u} =(2,\,-11,\,0)\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{14}},\,-\frac{3}{\sqrt{14}},\,\frac{1}{\sqrt{14}}\right).
Fazendo o produto escalar termo a termo:
D_{\hat{u}}f(P)=2\cdot\frac{2}{\sqrt{14}} + (-11)\cdot\left(-\frac{3}{\sqrt{14}}\right) + 0\cdot\frac{1}{\sqrt{14}} =\frac{4}{\sqrt{14}}+\frac{33}{\sqrt{14}}=\frac{37}{\sqrt{14}}.
Se preferir racionalizar o denominador, isso é equivalente a \dfrac{37\sqrt{14}}{14}.

Passo 7

Resumo e dica rápida: a chave é lembrar que a derivada direcional usa o gradiente e o vetor unitário. Sempre calcule as parciais com cuidado, avalie o gradiente no ponto dado, normalize o vetor direção e faça o produto escalar. Você pode repetir esse passo a passo em qualquer exercício semelhante.

Resposta

\dfrac{37}{\sqrt{14}}

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