Ache a derivada direcional de
em
na direção indicada:
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e o vetor de direção
.
A pergunta é: achar a derivada direcional de em
na direção indicada por
.
Informações relevantes que temos:
A pergunta é: achar a derivada direcional de
Informações relevantes que temos:
- A função
e seus termos (podem gerar derivadas parciais). - O ponto onde a derivada direcional deve ser avaliada:
. - O vetor direção
(note que ele precisa ser transformado num vetor unitário para usar a fórmula padrão).
Passo 2
Definição prática que vamos usar (forma que costuma cair na prova): a derivada direcional de
em
na direção do vetor unitário
é o produto escalar entre o gradiente de
em
e
:
Explicando com calma:
-
é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais de : . Cada componente mostra a taxa de variação de quando só uma variável muda. -
é o vetor direção normalizado (módulo igual a 1). Se for usado um vetor não unitário, o resultado precisa ser ajustado; por isso sempre normalizar. - O produto escalar combina a informação do gradiente com a direção desejada para dar a taxa de variação por unidade de comprimento na direção escolhida.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(vou explicar termo a termo):
- Para
(derivada de em relação a ): derivada de é ; de em relação a é (não depende de ); de em relação a é . Logo
- Para
: derivada de em relação a é ; de é ; de é . Logo
- Para
: derivada de e em relação a é ; de é . Logo
Passo 4
Avaliar o gradiente em
. Substituindo:
-
. -
. -
.
Portanto
Passo 5
Normalizar o vetor direção
. Primeiro o módulo:
O vetor unitário correspondente é
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar:
Fazendo o produto escalar termo a termo:
Se preferir racionalizar o denominador, isso é equivalente a
.
Passo 7
Resumo e dica rápida: a chave é lembrar que a derivada direcional usa o gradiente e o vetor unitário. Sempre calcule as parciais com cuidado, avalie o gradiente no ponto dado, normalize o vetor direção e faça o produto escalar. Você pode repetir esse passo a passo em qualquer exercício semelhante.