Determine as equações da reta tangente às seguintes curvas: ( 2,0 pontos)
no ponto
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado):
- A curva paramétrica é
. - Queremos a(s) equação(ões) da reta tangente a essa curva no ponto correspondente a
.
As informações relevantes são as três componentes da curva em função de
e o valor de
onde devemos calcular a reta tangente.
Passo 2
Calcular o ponto da curva no instante
.
- Primeiro componente:
- Segunda componente (lembre que
do enunciado é ):
- Terceira componente:
Portanto o ponto de tangência é
Passo 3
Achar o vetor tangente
. Para isso derivamos componente a componente:
- Regra básica:
e . - Para a composição
usa-se a regra da cadeia: .
Derivando as componentes de
:
Expliquei o porquê de cada termo: o coeficiente 2 nas duas primeiras componentes vem da constante multiplicando
e
; na última a constante 4 multiplicada pela derivada de
gera o fator
.
Passo 4
Avaliar
em
.
-
, então a primeira componente fica
-
, então a segunda componente fica
- Para a terceira componente,
, então
Logo o vetor tangente no ponto é
Passo 5
Interpretação geométrica e forma geral da reta tangente.
- Geometricamente, a reta tangente à curva paramétrica
no instante passa por e tem direção dada por . - A equação vetorial paramétrica da reta tangente é
onde
é o parâmetro da reta (não confundir com o parâmetro
da curva).
Usando
, usaremos o ponto e o vetor tangente calculados nos passos anteriores para escrever a equação da reta (a forma explícita numérica final vem na seção de resposta).