Determine as equações da reta tangente às seguintes curvas: ( 2,0 pontos)
\alpha(t)=(2 \cos t, 2 \operatorname{sen} t, 4 \cos 2 t) no ponto t=\frac{\pi}{3}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado):
  • A curva paramétrica é \alpha(t)=(2\cos t,\;2\operatorname{sen} t,\;4\cos 2t).
  • Queremos a(s) equação(ões) da reta tangente a essa curva no ponto correspondente a t=\dfrac{\pi}{3}.
As informações relevantes são as três componentes da curva em função de t e o valor de t onde devemos calcular a reta tangente.

Passo 2

Calcular o ponto da curva no instante t=\dfrac{\pi}{3}.
  • Primeiro componente:
2\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}=1.
  • Segunda componente (lembre que \operatorname{sen} do enunciado é \sin):
2\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
  • Terceira componente:
4\cos\!\left(2\cdot\dfrac{\pi}{3}\right)=4\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) =4\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-2.
Portanto o ponto de tangência é
\alpha\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\bigl(1,\;\sqrt{3},\;-2\bigr).

Passo 3

Achar o vetor tangente \alpha'(t). Para isso derivamos componente a componente:
  • Regra básica: \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
  • Para a composição \cos(2t) usa-se a regra da cadeia: \dfrac{d}{dt}\cos(2t)=-\sin(2t)\cdot 2.
Derivando as componentes de \alpha(t):
\alpha'(t)=\bigl(-2\sin t,\;2\cos t,\;4\cdot(-\sin(2t))\cdot 2\bigr) =\bigl(-2\sin t,\;2\cos t,\;-8\sin(2t)\bigr).
Expliquei o porquê de cada termo: o coeficiente 2 nas duas primeiras componentes vem da constante multiplicando \cos t e \sin t; na última a constante 4 multiplicada pela derivada de \cos(2t) gera o fator -8\sin(2t).

Passo 4

Avaliar \alpha'(t) em t=\dfrac{\pi}{3}.
  • \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, então a primeira componente fica
-2\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}.
  • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}, então a segunda componente fica
2\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2\cdot\dfrac{1}{2}=1.
  • Para a terceira componente, \sin(2t)=\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, então
-8\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-8\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-4\sqrt{3}.
Logo o vetor tangente no ponto é
\alpha'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\bigl(-\sqrt{3},\;1,\;-4\sqrt{3}\bigr).

Passo 5

Interpretação geométrica e forma geral da reta tangente.
  • Geometricamente, a reta tangente à curva paramétrica \alpha(t) no instante t_0 passa por \alpha(t_0) e tem direção dada por \alpha'(t_0).
  • A equação vetorial paramétrica da reta tangente é
\ell(s)=\alpha(t_0)+s\,\alpha'(t_0),\qquad s\in\mathbb{R},
onde s é o parâmetro da reta (não confundir com o parâmetro t da curva).
Usando t_0=\dfrac{\pi}{3}, usaremos o ponto e o vetor tangente calculados nos passos anteriores para escrever a equação da reta (a forma explícita numérica final vem na seção de resposta).

Resposta

\ell(s)=(1,\;\sqrt{3},\;-2)+s\bigl(-\sqrt{3},\;1,\;-4\sqrt{3}\bigr),\\ s\in\mathbb{R}
\dfrac{x-1}{-\sqrt{3}}=\dfrac{y-\sqrt{3}}{1}=\dfrac{z+2}{-4\sqrt{3}}

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