Demonstre as seguintes igualdades usando o princípio de indução finita.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre, para todo inteiro positivo
, a igualdade
De forma explícita, é preciso provar que a soma dos primeiros
quadrados é igual à expressão à direita, para todo
. O enunciado indica usar o princípio da indução finita.
Passo 2
O que é o princípio da indução finita? Vou explicar de um jeito simples e amigável.
-
A ideia é provar que uma propriedade
vale para todo inteiro positivo em duas etapas: - Base: mostrar que
é verdadeira (ou, em outros problemas, ou outro início). - Passo indutivo: assumir que
é verdadeira para um inteiro arbitrário (isso chamamos hipótese de indução) e, sob essa hipótese, provar que também é verdadeira.
- Base: mostrar que
-
Se ambas as etapas são verificadas, concluímos que
é verdadeira para todo . Intuitivamente, é como derrubar o primeiro dominó (base) e mostrar que qualquer dominó derrubado faz cair o próximo (passo indutivo) — então todos caem.
Agora vamos aplicar esse processo ao problema.
Passo 3
Base da indução: verificar
.
A propriedade
é a igualdade
Para
, o lado esquerdo é
. O lado direito é
Portanto
é verdadeira.
Passo 4
Hipótese de indução: suponha que
seja verdadeira para um certo inteiro arbitrário
. Ou seja, suponha que
Vou usar essa igualdade para provar
.
Passo 5
Passo indutivo: mostrar
, isto é,
Começo escrevendo a soma até
como a soma até
mais o termo
:
Agora uso a hipótese de indução para substituir a soma até
:
Fatoro
em evidência para simplificar:
Coloco tudo com denominador comum
:
Expando os termos do numerador:
Agora fatoro o polinômio
. Procuro dois fatores inteiros que multipliquem para
e somem
; esses são
e
. Assim
(Verificação rápida:
.)
Substituindo de volta:
Reescrevendo o fator
como
, obtemos
Isto é exatamente a fórmula com
. Portanto, sob a hipótese que a fórmula vale para
, mostramos que ela vale para
.
Passo 6
Conclusão pela indução: como a base
é verdadeira e provamos que
para todo
, pelo princípio de indução finita a igualdade
vale para todo inteiro
.
Dica rápida para a prova na prova: apresente claramente a base, escreva a hipótese de indução e mostre passo a passo a manipulação algébrica que leva de
a
. Isso deixa a resposta organizada e fácil de acompanhar.