Demonstre as seguintes igualdades usando o princípio de indução finita.
(a) 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre, para todo inteiro positivo \,n, a igualdade
1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
De forma explícita, é preciso provar que a soma dos primeiros n quadrados é igual à expressão à direita, para todo n\in\mathbb{N}. O enunciado indica usar o princípio da indução finita.

Passo 2

O que é o princípio da indução finita? Vou explicar de um jeito simples e amigável.
  • A ideia é provar que uma propriedade P(n) vale para todo inteiro positivo n em duas etapas:
    1. Base: mostrar que P(1) é verdadeira (ou, em outros problemas, P(0) ou outro início).
    2. Passo indutivo: assumir que P(k) é verdadeira para um inteiro arbitrário k\ge1 (isso chamamos hipótese de indução) e, sob essa hipótese, provar que P(k+1) também é verdadeira.
  • Se ambas as etapas são verificadas, concluímos que P(n) é verdadeira para todo n\ge1. Intuitivamente, é como derrubar o primeiro dominó (base) e mostrar que qualquer dominó derrubado faz cair o próximo (passo indutivo) — então todos caem.
Agora vamos aplicar esse processo ao problema.

Passo 3

Base da indução: verificar P(1).
A propriedade P(n) é a igualdade
\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Para n=1, o lado esquerdo é 1^{2}=1. O lado direito é
\frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=\frac{6}{6}=1.
Portanto P(1) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese de indução: suponha que P(k) seja verdadeira para um certo inteiro arbitrário k\ge1. Ou seja, suponha que
\sum_{i=1}^{k} i^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.
Vou usar essa igualdade para provar P(k+1).

Passo 5

Passo indutivo: mostrar P(k+1), isto é,
\sum_{i=1}^{k+1} i^{2} = \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}.
Começo escrevendo a soma até k+1 como a soma até k mais o termo (k+1)^{2}:
\sum_{i=1}^{k+1} i^{2} = \left(\sum_{i=1}^{k} i^{2}\right) + (k+1)^{2}.
Agora uso a hipótese de indução para substituir a soma até k:
\sum_{i=1}^{k+1} i^{2} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^{2}.
Fatoro (k+1) em evidência para simplificar:
\sum_{i=1}^{k+1} i^{2} = (k+1)\left(\frac{k(2k+1)}{6} + (k+1)\right).
Coloco tudo com denominador comum 6:
\sum_{i=1}^{k+1} i^{2} = (k+1)\left(\frac{k(2k+1) + 6(k+1)}{6}\right).
Expando os termos do numerador:
k(2k+1) + 6(k+1) = 2k^{2} + k + 6k + 6 = 2k^{2} + 7k + 6.
Agora fatoro o polinômio 2k^{2}+7k+6. Procuro dois fatores inteiros que multipliquem para 2\cdot6=12 e somem 7; esses são 3 e 4. Assim
2k^{2}+7k+6 = (k+2)(2k+3).
(Verificação rápida: (k+2)(2k+3)=2k^{2}+3k+4k+6=2k^{2}+7k+6.)
Substituindo de volta:
\sum_{i=1}^{k+1} i^{2} = (k+1)\left(\frac{(k+2)(2k+3)}{6}\right).
Reescrevendo o fator 2k+3 como 2(k+1)+1, obtemos
\sum_{i=1}^{k+1} i^{2} = \frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}.
Isto é exatamente a fórmula com n=k+1. Portanto, sob a hipótese que a fórmula vale para k, mostramos que ela vale para k+1.

Passo 6

Conclusão pela indução: como a base P(1) é verdadeira e provamos que P(k)\Rightarrow P(k+1) para todo k\ge1, pelo princípio de indução finita a igualdade
\sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
vale para todo inteiro n\ge1.
Dica rápida para a prova na prova: apresente claramente a base, escreva a hipótese de indução e mostre passo a passo a manipulação algébrica que leva de \sum_{i=1}^{k} i^{2} a \sum_{i=1}^{k+1} i^{2}. Isso deixa a resposta organizada e fácil de acompanhar.

Resposta

1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Exercícios relacionados