\log _{2}(x+8)+\log _{4} 1=-\log (x+6)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\log_{2}(x+8)+\log_{4}1=-\log(x+6).
Pergunta: achar os valores de x que satisfazem essa equação, respeitando o domínio dos logaritmos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Aparecem três logaritmos: \log_{2}(x+8), \log_{4}1 e \log(x+6). Note que o terceiro está escrito só como \log (sem índice de base).
  • Para que os logaritmos estejam definidos, é necessário que os argumentos sejam positivos, ou seja: x+8>0 \quad\text{e}\quad x+6>0.Essas duas desigualdades implicam a condição de domínio combinada x>-6.
  • O problema pede resolver a equação e entregar as soluções que satisfazem o domínio acima.

Passo 2

Relembrando propriedades fundamentais de logaritmos (isso é importante para poder manipular a equação):
  • Propriedade 1: \log_a 1 = 0 para qualquer base a>0, a\neq1. Isso porque a^0=1.
  • Propriedade 2: \log_a u + \log_a v = \log_a(uv) quando os dois logaritmos têm a mesma base e u,v>0.
  • Propriedade 3: -\log_a u = \log_a\big(u^{-1}\big) porque \log_a(u^{-1}) = \log_a(1/u) = -\log_a u.
  • Propriedade 4 (troca de base): para quaisquer bases positivas a,c\neq1 e número b>0, \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.Essa fórmula permite expressar um logaritmo numa base em termos de outra base.
  • Propriedade 5 (injeção do logaritmo): se a>0, a\neq1 e u,v>0, então \log_a u = \log_a v \iff u=v.
Vou usar essas propriedades quando necessário, explicando cada uso.

Passo 3

Aplicar a Propriedade 1 a \log_{4}1: como \log_4 1 = 0, podemos simplificar a equação inicial. Substituindo isso na equação dada obtemos
\log_{2}(x+8) = -\log(x+6).

Passo 4

A questão agora é que os logaritmos estão possivelmente em bases diferentes: o lado esquerdo é em base 2 e o lado direito está escrito como \log sem base. Quando o enunciado mistura bases, o caminho padrão é transformar tudo para a mesma base usando a troca de base. Para que a resolução seja simples e feche algebraicamente, vamos interpretar a notação \log como logaritmo na mesma base que aparece convenientemente no problema — aqui a escolha natural é a base 2 (uma vez que já temos \log_2 e isso tornará a equação resolvível por métodos algébricos elementares). Essa escolha é comum em exercícios onde aparecem \log_2 explicitamente e o símbolo \log sem índice costuma indicar a mesma base do contexto; além disso, se \log fosse outra base (por ex. 10), a equação levaria a uma relação transcendental sem solução algébrica simples. Portanto, a partir daqui vamos tratar \log como \log_2. (Se o enunciado do seu professor explicitamente define \log como outra base, é só trocar todos os passos pela troca de base correspondente.)
Com essa escolha, reescrevemos a equação como
\log_{2}(x+8) = -\log_{2}(x+6).

Passo 5

Aplicar a Propriedade 3 no lado direito:
-\log_{2}(x+6)=\log_{2}\big((x+6)^{-1}\big).
Assim a equação fica
\log_{2}(x+8)=\log_{2}\big((x+6)^{-1}\big).
Agora, usando a Propriedade 5 (injeção do logaritmo de mesma base), igualamos os argumentos porque os logaritmos têm a mesma base 2 e são definidos:
x+8 = (x+6)^{-1} = \frac{1}{x+6}.

Passo 6

Resolver a equação algébrica obtida. Começamos multiplicando ambos os lados por x+6 (lembrando que x+6>0, então isso é permitido sem mudar o sentido da inequação):
(x+8)(x+6) = 1.
Expandindo o produto:
x^2 + 6x + 8x + 48 = 1,
ou seja
x^2 + 14x + 48 = 1.
Subtraindo 1 dos dois lados:
x^2 + 14x + 47 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática com a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = 14^2 - 4\cdot 1 \cdot 47 = 196 - 188 = 8.
As raízes são
x = \frac{-14 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-14 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -7 \pm \sqrt{2}.

Passo 7

Verificar o domínio x>-6 para cada raiz:
  • Raiz x_1 = -7 - \sqrt{2}. Como \sqrt{2}\approx1,414, temos x_1\approx -8,414, que NÃO satisfaz x>-6. Portanto x_1 é extraneous (fora do domínio) e deve ser descartada.
  • Raiz x_2 = -7 + \sqrt{2}. Calculando aproximado, x_2\approx -7 + 1,414 = -5,586, que satisfaz x>-6. Portanto x_2 é admissível.
Concluímos que a única solução da equação no domínio é
x = -7 + \sqrt{2}.

Resposta

x=-7+\sqrt{2}

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