Passo 1
O enunciado nos dá a equação
Pergunta: achar os valores de
que satisfazem essa equação, respeitando o domínio dos logaritmos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Aparecem três logaritmos:
, e . Note que o terceiro está escrito só como (sem índice de base). - Para que os logaritmos estejam definidos, é necessário que os argumentos sejam positivos, ou seja:
Essas duas desigualdades implicam a condição de domínio combinada - O problema pede resolver a equação e entregar as soluções que satisfazem o domínio acima.
Passo 2
Relembrando propriedades fundamentais de logaritmos (isso é importante para poder manipular a equação):
- Propriedade 1:
para qualquer base , . Isso porque . - Propriedade 2:
quando os dois logaritmos têm a mesma base e . - Propriedade 3:
porque . - Propriedade 4 (troca de base): para quaisquer bases positivas
e número , Essa fórmula permite expressar um logaritmo numa base em termos de outra base. - Propriedade 5 (injeção do logaritmo): se
, e , então
Vou usar essas propriedades quando necessário, explicando cada uso.
Passo 3
Aplicar a Propriedade 1 a
: como
, podemos simplificar a equação inicial. Substituindo isso na equação dada obtemos
Passo 4
A questão agora é que os logaritmos estão possivelmente em bases diferentes: o lado esquerdo é em base
e o lado direito está escrito como
sem base. Quando o enunciado mistura bases, o caminho padrão é transformar tudo para a mesma base usando a troca de base. Para que a resolução seja simples e feche algebraicamente, vamos interpretar a notação
como logaritmo na mesma base que aparece convenientemente no problema — aqui a escolha natural é a base
(uma vez que já temos
e isso tornará a equação resolvível por métodos algébricos elementares). Essa escolha é comum em exercícios onde aparecem
explicitamente e o símbolo
sem índice costuma indicar a mesma base do contexto; além disso, se
fosse outra base (por ex.
), a equação levaria a uma relação transcendental sem solução algébrica simples. Portanto, a partir daqui vamos tratar
como
. (Se o enunciado do seu professor explicitamente define
como outra base, é só trocar todos os passos pela troca de base correspondente.)
Com essa escolha, reescrevemos a equação como
Passo 5
Aplicar a Propriedade 3 no lado direito:
Assim a equação fica
Agora, usando a Propriedade 5 (injeção do logaritmo de mesma base), igualamos os argumentos porque os logaritmos têm a mesma base
e são definidos:
Passo 6
Resolver a equação algébrica obtida. Começamos multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
, então isso é permitido sem mudar o sentido da inequação):
Expandindo o produto:
ou seja
Subtraindo
dos dois lados:
Agora resolvemos essa equação quadrática com a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
As raízes são
Passo 7
Verificar o domínio
para cada raiz:
-
Raiz
. Como , temos , que NÃO satisfaz . Portanto é extraneous (fora do domínio) e deve ser descartada. -
Raiz
. Calculando aproximado, , que satisfaz . Portanto é admissível.
Concluímos que a única solução da equação no domínio é