Determine as equações das retas
(
\mathrm{s}_{1}
) e
(
\mathrm{s}_{2}
) que passam por P e formam ângulo
\theta com a reta
r nos seguintes casos:
P(2,-1) \theta=45^{\circ} r: x+2 y=0

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: determinar as equações das retas \mathrm{s}_{1} e \mathrm{s}_{2} que passam por P e formam ângulo \theta com a reta r.
  • Dados:
    • P(2,-1).
    • \theta=45^{\circ}.
    • r: x+2y=0.

Passo 2

Entendendo inclinação (coeficiente angular) de uma reta e a reta r.
  • Para uma reta, o coeficiente angular (slope) m é o número tal que a reta pode ser escrita como y=m x + b. Geometricamente, m=\tan\alpha, onde \alpha é o ângulo que a reta faz com o eixo x positivo.
  • Colocando r na forma y=mx+b:
x+2y=0 \quad\Rightarrow\quad 2y=-x \quad\Rightarrow\quad y=-\tfrac{1}{2}x.
  • Logo o coeficiente angular de r é \displaystyle m_{r}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Fórmula do ângulo entre duas retas (explicação didática).
  • Seja uma reta com coeficiente angular m (ou seja, faz ângulo \alpha com o eixo x e m=\tan\alpha) e outra com coeficiente m_{r} (faz ângulo \beta com o eixo x e m_{r}=\tan\beta).
  • O ângulo entre as retas é |\alpha-\beta|. Usando a fórmula da tangente da diferença,
\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}.
  • Substituindo \tan\alpha=m e \tan\beta=m_{r}, obtemos a fórmula prática
\tan\theta=\left|\frac{m-m_{r}}{1+m\,m_{r}}\right|.
  • Nesta fórmula: \theta é o ângulo entre as retas (valor entre 0^\circ e 90^\circ), e o valor absoluto aparece porque o ângulo é positivo.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso dado.
  • Aqui \theta=45^{\circ}, portanto \tan\theta=\tan45^{\circ}=1.
  • Substituindo na fórmula:
1=\left|\frac{m- m_{r}}{1+m\,m_{r}}\right|.
  • Com m_{r}=-\tfrac{1}{2}, isso vira
1=\left|\frac{m + \tfrac{1}{2}}{1 - \tfrac{1}{2}m}\right|.
  • A equação sem valor absoluto gera duas possibilidades:
\frac{m + \tfrac{1}{2}}{1 - \tfrac{1}{2}m}=1 \quad\text{ou}\quad \frac{m + \tfrac{1}{2}}{1 - \tfrac{1}{2}m}=-1.

Passo 5

Resolver a primeira possibilidade (lado =1).
  • Igualando a 1:
\frac{m + \tfrac{1}{2}}{1 - \tfrac{1}{2}m}=1.
  • Multiplicando ambos os lados por 1-\tfrac{1}{2}m:
m+\tfrac{1}{2}=1-\tfrac{1}{2}m.
  • Agrupando termos em m:
m+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}m=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{2}m=\frac{1}{2}.
  • Portanto
m=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{3}{2}}=\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Resolver a segunda possibilidade (lado =-1).
  • Igualando a -1:
\frac{m + \tfrac{1}{2}}{1 - \tfrac{1}{2}m}=-1.
  • Multiplicando ambos os lados por 1-\tfrac{1}{2}m:
m+\tfrac{1}{2}=-1+\tfrac{1}{2}m.
  • Agrupando termos em m:
m-\tfrac{1}{2}m=-1-\tfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}m=-\tfrac{3}{2}.
  • Portanto
m=\frac{-\tfrac{3}{2}}{\tfrac{1}{2}}=-3.

Passo 7

Formar as equações das retas que passam por P(2,-1) com os coeficientes angulares encontrados.
  • Fórmula ponto-declive (point-slope): se a reta passa por (x_0,y_0) e tem coeficiente m, então
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
  • Para m=\tfrac{1}{3} e P(2,-1):
y+1=\tfrac{1}{3}(x-2).
Multiplicando por 3:
3y+3=x-2 \quad\Rightarrow\quad x-3y-5=0.
  • Para m=-3 e P(2,-1):
y+1=-3(x-2).
Expandindo:
y+1=-3x+6 \quad\Rightarrow\quad 3x+y-5=0.

Passo 8

Breve verificação (tranquilizadora): verificar rapidamente que o ângulo entre cada uma dessas retas e r é 45^{\circ}.
  • Para m=\tfrac{1}{3}:
\frac{m-m_{r}}{1+m m_{r}}=\frac{\tfrac{1}{3}-(-\tfrac{1}{2})}{1+\tfrac{1}{3}\cdot(-\tfrac{1}{2})} =\frac{\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{6}}=\frac{\tfrac{5}{6}}{\tfrac{5}{6}}=1.
  • Para m=-3:
\frac{m-m_{r}}{1+m m_{r}}=\frac{-3-(-\tfrac{1}{2})}{1+(-3)(-\tfrac{1}{2})} =\frac{-\tfrac{5}{2}}{1+\tfrac{3}{2}}=\frac{-\tfrac{5}{2}}{\tfrac{5}{2}}=-1,
cuja valor absoluto é 1. Em ambos os casos \tan\theta=1, ou seja \theta=45^{\circ}. Tudo bate.

Resposta

\mathrm{s}_{1}:\;x-3y-5=0
\mathrm{s}_{2}:\;3x+y-5=0

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