Determine as equações das retas
\mathrm{s}_{1} e
(
\mathrm{s}_{2}
) que passam por P e formam ângulo
\theta com a reta
r nos seguintes casos:
P(1,0) \theta=30^{\circ} r: x+y+1=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar as equações das retas \mathrm{s}_{1} e \mathrm{s}_{2} que passam por P(1,0) e formam ângulo \theta=30^\circ com a reta r\colon x+y+1=0.
Informações dadas:
  • Ponto por onde as retas passam: P(1,0).
  • Ângulo pedido: \theta=30^\circ.
  • Reta referência: r\colon x+y+1=0.
O que precisamos encontrar: duas retas que passam por P e que estão a 30^\circ (um em cada lado) da reta r.

Passo 2

Vamos obter o coeficiente angular (declive, slope) da reta r. Escrevendo r na forma y=mx+b:
x+y+1=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-x-1.
Logo o coeficiente angular de r é \;m_r=-1.

Passo 3

Lembrete importante (fórmula que vamos usar) e explicação didática:
  • Se duas retas têm coeficientes angulares m_1 e m_2, o ângulo \varphi entre elas satisfaz
\tan\varphi=\left|\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|.
Breve justificativa: essa fórmula vem da identidade da tangente da diferença de ângulos. Se as retas fazem ângulos \alpha e \beta com o eixo x, então m_1=\tan\alpha, m_2=\tan\beta e \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}. O ângulo entre as retas é |\alpha-\beta|, daí a fórmula acima com valor absoluto.
No nosso caso queremos retas com coeficiente m tal que o ângulo entre m e m_r=-1 seja \varphi=30^\circ. Como
\tan 30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}},
temos a equação
\left|\dfrac{m-(-1)}{1+(-1)\,m}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Simplificar a equação do passo anterior:
\left|\dfrac{m+1}{1-m}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Para eliminar o valor absoluto, é seguro elevar ao quadrado ambos os lados (isso não introduz soluções espúrias aqui porque o denominador não pode ser zero para uma reta com coeficiente angular finito igual a 1; trataremos depois o caso m=1, se necessário). Assim:
\left(\dfrac{m+1}{1-m}\right)^2=\dfrac{1}{3}.

Passo 5

Resolver a equação quadrática obtida:
\frac{(m+1)^2}{(1-m)^2}=\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad 3(m+1)^2=(1-m)^2.
Expandindo ambos os lados:
3(m^2+2m+1)=1-2m+m^2.
Calcular termo a termo:
3m^2+6m+3 = m^2-2m+1.
Passar tudo para um lado:
3m^2+6m+3 - m^2 +2m -1 =0
2m^2+8m+2=0.
Dividindo por 2:
m^2+4m+1=0.

Passo 6

Resolver a equação quadrática \;m^2+4m+1=0; usando a fórmula de Bhaskara:
m=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot1}}{2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{12}}{2}=\dfrac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2}=-2\pm\sqrt{3}.
Portanto existem dois coeficientes angulares possíveis:
m_1=-2+\sqrt{3},\qquad m_2=-2-\sqrt{3}.
Observação rápida (conforto mental): ambos são números reais; nenhum é igual a 1, logo o passo de dividir por 1-m não perdeu soluções legítimas.

Passo 7

Agora construímos as equações das retas que passam por P(1,0) e têm esses coeficientes angulares. Usamos a forma ponto-declive (point-slope):
y-y_0=m(x-x_0).
Com x_0=1, y_0=0, obtemos para cada m:
y = m(x-1).
Substituindo os dois valores de m:
Para m_1=-2+\sqrt{3}:
y = (-2+\sqrt{3})(x-1).
Para m_2=-2-\sqrt{3}:
y = (-2-\sqrt{3})(x-1).

Passo 8

Opcionalmente colocamos as equações em forma geral Ax+By+C=0 para ficar mais “estandarizado”. Partindo de y=m(x-1) temos mx - y - m =0. Assim:
Para m_1:
(-2+\sqrt{3})x - y + (2-\sqrt{3})=0.
Para m_2:
(-2-\sqrt{3})x - y + (2+\sqrt{3})=0.
Ambas as formas (ponto-declive ou forma geral) representam as mesmas retas encontradas.

Resposta

\displaystyle \mathrm{s}_{1}:\; y = (-2+\sqrt{3})(x-1)
\displaystyle \mathrm{s}_{2}:\; y = (-2-\sqrt{3})(x-1)

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