Determine as equações das retas \mathrm{s}_{1} e
(
\mathrm{s}_{2}
) que passam por P e formam ângulo \theta com a reta r nos seguintes casos: P(1,0)\theta=30^{\circ}r: x+y+1=0
Passo 1
O enunciado pede: determinar as equações das retas \mathrm{s}_{1} e \mathrm{s}_{2} que passam por P(1,0) e formam ângulo \theta=30^\circ com a reta r\colon x+y+1=0.
Informações dadas:
Ponto por onde as retas passam: P(1,0).
Ângulo pedido: \theta=30^\circ.
Reta referência: r\colon x+y+1=0.
O que precisamos encontrar: duas retas que passam por P e que estão a 30^\circ (um em cada lado) da reta r.
Passo 2
Vamos obter o coeficiente angular (declive, slope) da reta r. Escrevendo r na forma y=mx+b:
x+y+1=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-x-1.
Logo o coeficiente angular de r é \;m_r=-1.
Passo 3
Lembrete importante (fórmula que vamos usar) e explicação didática:
Se duas retas têm coeficientes angulares m_1 e m_2, o ângulo \varphi entre elas satisfaz
Breve justificativa: essa fórmula vem da identidade da tangente da diferença de ângulos. Se as retas fazem ângulos \alpha e \beta com o eixo x, então m_1=\tan\alpha, m_2=\tan\beta e \tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}. O ângulo entre as retas é |\alpha-\beta|, daí a fórmula acima com valor absoluto.
No nosso caso queremos retas com coeficiente m tal que o ângulo entre m e m_r=-1 seja \varphi=30^\circ. Como
Para eliminar o valor absoluto, é seguro elevar ao quadrado ambos os lados (isso não introduz soluções espúrias aqui porque o denominador não pode ser zero para uma reta com coeficiente angular finito igual a 1; trataremos depois o caso m=1, se necessário). Assim: