Determine as equações das retas
(
\mathrm{s}_{1}
) e
(
\mathrm{s}_{2}
) que passam por P e formam ângulo
\theta com a reta
r nos seguintes casos:
P(0,1) \theta=\operatorname{arc} \operatorname{tg} 2 r: 2 x-y+7=0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O ponto P tem coordenadas P(0,1).
  • O ângulo pedido é \theta=\operatorname{arctg}2. Assim \tan\theta=2.
  • A reta r tem equação 2x-y+7=0.
O que se pede: achar as equações das duas retas \mathrm{s}_{1} e \mathrm{s}_{2} que passam por P e formam ângulo \theta com a reta r. Ou seja, encontrar as duas retas através de P cujo ângulo com r é \theta.

Passo 2

Primeiro encontro a inclinação (coeficiente angular) da reta r. Reescrevo r na forma y=mx+b:
2x-y+7=0 \quad\Longrightarrow\quad y=2x+7.
Portanto o coeficiente angular de r é m_r=2.
Explicação rápida do que é coeficiente angular: para uma reta y=mx+b, o número m indica a “inclinação” da reta — se m>0 sobe quando x aumenta, se m=0 é horizontal, etc. Aqui m_r=2 significa que para cada aumento de 1 em x, y aumenta 2.

Passo 3

Fórmula que relaciona o ângulo \varphi entre duas retas e os seus coeficientes angulares m_1 e m_2:
\tan\varphi=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|.
Explicando: m_1 e m_2 são os coeficientes das duas retas; a fórmula dá a tangente do ângulo agudo entre elas. O valor absoluto aparece porque a fórmula dá um ângulo entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
No nosso problema queremos retas com coeficiente m tal que o ângulo entre essa reta e r seja \theta. Assim devemos ter
\left|\frac{m-m_r}{1+m\,m_r}\right|=\tan\theta.
Como \tan\theta=2 e m_r=2, obtemos a equação
\left|\frac{m-2}{1+2m}\right|=2.

Passo 4

Removo o valor absoluto escrevendo os dois sinais possíveis:
\frac{m-2}{1+2m}=2 \qquad\text{ou}\qquad \frac{m-2}{1+2m}=-2.
Justificativa: há duas retas passando por um ponto que formam um dado ângulo com outra reta — uma de cada lado — por isso aparecem as duas possibilidades com sinais opostos.

Passo 5

Resolvo cada equação separadamente.
Caso 1:
\frac{m-2}{1+2m}=2.
Multiplico ambos os lados por 1+2m (não é zero nos resultados que obteremos, mas faremos a verificação implicitamente):
m-2=2(1+2m)=2+4m.
Agora isolo m:
m-4m=2+2 \quad\Longrightarrow\quad -3m=4 \quad\Longrightarrow\quad m=-\frac{4}{3}.
Caso 2:
\frac{m-2}{1+2m}=-2.
Multiplico ambos os lados por 1+2m:
m-2=-2(1+2m)=-2-4m.
Isolando m:
m+4m=-2+2 \quad\Longrightarrow\quad 5m=0 \quad\Longrightarrow\quad m=0.
Portanto os dois coeficientes angulares possíveis são m_1=-\dfrac{4}{3} e m_2=0.

Passo 6

Agora obtenho as equações das retas que passam por P(0,1) com esses coeficientes, usando a forma ponto-declive y-y_0=m(x-x_0).
Para m=0:
y-1=0\cdot(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y=1.
Para m=-\dfrac{4}{3}:
y-1=-\dfrac{4}{3}(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y=-\dfrac{4}{3}x+1.
Posso escrever essa última em forma geral sem frações multiplicando por 3:
3y=-4x+3 \quad\Longrightarrow\quad 4x+3y-3=0.

Passo 7

(checagem rápida) Verifico que o ângulo entre y=1 ( m=0) e r ( m_r=2) tem tangente
\left|\frac{0-2}{1+0\cdot2}\right|=2,
logo \varphi=\operatorname{arctg}2, correto. Para m=-\dfrac{4}{3}:
\left|\frac{-\tfrac{4}{3}-2}{1+2\big(-\tfrac{4}{3}\big)}\right| =\left|\frac{-\tfrac{10}{3}}{1-\tfrac{8}{3}}\right| =\left|\frac{-\tfrac{10}{3}}{-\tfrac{5}{3}}\right|=2,
também correto.

Resposta

y=1
y=-\dfrac{4}{3}x+1

Exercícios relacionados