\mathrm{s}_{2}
) que passam por P e formam ângulo \theta com a reta r nos seguintes casos: P(0,1)\theta=\operatorname{arc} \operatorname{tg} 2r: 2 x-y+7=0
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
O ponto P tem coordenadas P(0,1).
O ângulo pedido é \theta=\operatorname{arctg}2. Assim \tan\theta=2.
A reta r tem equação 2x-y+7=0.
O que se pede: achar as equações das duas retas \mathrm{s}_{1} e \mathrm{s}_{2} que passam por P e formam ângulo \theta com a reta r. Ou seja, encontrar as duas retas através de P cujo ângulo com r é \theta.
Passo 2
Primeiro encontro a inclinação (coeficiente angular) da reta r. Reescrevo r na forma y=mx+b:
2x-y+7=0 \quad\Longrightarrow\quad y=2x+7.
Portanto o coeficiente angular de r é m_r=2.
Explicação rápida do que é coeficiente angular: para uma reta y=mx+b, o número m indica a “inclinação” da reta — se m>0 sobe quando x aumenta, se m=0 é horizontal, etc. Aqui m_r=2 significa que para cada aumento de 1 em x, y aumenta 2.
Passo 3
Fórmula que relaciona o ângulo \varphi entre duas retas e os seus coeficientes angulares m_1 e m_2:
Explicando: m_1 e m_2 são os coeficientes das duas retas; a fórmula dá a tangente do ângulo agudo entre elas. O valor absoluto aparece porque a fórmula dá um ângulo entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.
No nosso problema queremos retas com coeficiente m tal que o ângulo entre essa reta e r seja \theta. Assim devemos ter
\left|\frac{m-m_r}{1+m\,m_r}\right|=\tan\theta.
Como \tan\theta=2 e m_r=2, obtemos a equação
\left|\frac{m-2}{1+2m}\right|=2.
Passo 4
Removo o valor absoluto escrevendo os dois sinais possíveis:
Justificativa: há duas retas passando por um ponto que formam um dado ângulo com outra reta — uma de cada lado — por isso aparecem as duas possibilidades com sinais opostos.
Passo 5
Resolvo cada equação separadamente.
Caso 1:
\frac{m-2}{1+2m}=2.
Multiplico ambos os lados por 1+2m (não é zero nos resultados que obteremos, mas faremos a verificação implicitamente):