Determine e esboce as componentes pares e ímpares de:
d) \cos \left(\omega_{0} t\right) u(t)

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=\cos\bigl(\omega_{0}t\bigr)\,u(t)
e pede suas componentes par e ímpar, definidas por
x_{e}(t)=\frac{x(t)+x(-t)}{2}, \quad x_{o}(t)=\frac{x(t)-x(-t)}{2}.
Para resolver, precisamos calcular primeiro x(-t) e depois montar essas somas e diferenças.

Passo 2

Calculemos x(-t):
x(-t)=\cos\bigl(\omega_{0}(-t)\bigr)\,u(-t) =\cos\bigl(\omega_{0}t\bigr)\,u(-t),
pois \cos é função par.

Passo 3

Agora a componente par:
x_{e}(t) =\frac{x(t)+x(-t)}{2} =\frac{\cos(\omega_{0}t)\,u(t)+\cos(\omega_{0}t)\,u(-t)}{2} =\frac{\cos(\omega_{0}t)\,\bigl[u(t)+u(-t)\bigr]}{2}.
Como
u(t)+u(-t)=1 \quad(\text{para todo }t),
segue
x_{e}(t)=\frac{1}{2}\cos\bigl(\omega_{0}t\bigr).

Passo 4

Agora a componente ímpar:
x_{o}(t) =\frac{x(t)-x(-t)}{2} =\frac{\cos(\omega_{0}t)\,\bigl[u(t)-u(-t)\bigr]}{2}.
E u(t)-u(-t) é justamente a função sinal \sgn(t), isto é,
u(t)-u(-t)= \begin{cases} 1,&t>0,\\\\ 0,&t=0,\\\\ -1,&t<0. \end{cases}
Logo
x_{o}(t)=\frac{1}{2}\,\cos\bigl(\omega_{0}t\bigr)\,\sgn(t).

Passo 5

Esboço das componentes:
  • x_{e}(t)=\tfrac12\cos(\omega_{0}t): é um cosseno de amplitude 1/2 simétrico em relação a t=0.
  • x_{o}(t)=\tfrac12\cos(\omega_{0}t)\,\sgn(t): para t>0 é \tfrac12\cos(\omega_{0}t), para t<0 é -\tfrac12\cos(\omega_{0}t), cruzando a origem em zero.
Em ambos os casos a frequência é \omega_{0}, mas x_{e}(t) é par e x_{o}(t) é ímpar.

Resposta

\boxed{ x_{e}(t)=\frac{1}{2}\cos\bigl(\omega_{0}t\bigr), \quad x_{o}(t)=\frac{1}{2}\cos\bigl(\omega_{0}t\bigr)\,\sgn(t). }

Exercícios relacionados