Determine e esboce as componentes pares e ímpares de:
b) t u(t)

Passo 1

Resumindo, temos a função
f(t)=t\,u(t),
onde u(t) é a função degrau unitário. O objetivo é decompor f(t) em sua parte par
f_{e}(t)=\frac{f(t)+f(-t)}{2}
e sua parte ímpar
f_{o}(t)=\frac{f(t)-f(-t)}{2}.

Passo 2

Primeiro calculamos f(-t). Como
f(-t)=(-t)\,u(-t),
fica claro que para t>0 vale u(-t)=0 e para t<0 vale u(-t)=1.

Passo 3

Aplicando as fórmulas de decomposição:
f_{e}(t)=\frac{t\,u(t)+(-t)\,u(-t)}{2},
f_{o}(t)=\frac{t\,u(t)-(-t)\,u(-t)}{2}.

Passo 4

Agora simplificamos em dois casos:
Para t\ge0: u(t)=1,\;u(-t)=0, então
f_{e}(t)=\frac{t\cdot1-\,t\cdot0}{2}=\frac{t}{2}, \quad f_{o}(t)=\frac{t\cdot1+\,t\cdot0}{2}=\frac{t}{2}.
Para t<0: u(t)=0,\;u(-t)=1, então
f_{e}(t)=\frac{0-\,t}{2}=-\frac{t}{2}, \quad f_{o}(t)=\frac{0+\,t}{2}=\frac{t}{2}.
Logo, em forma de função por partes:
f_{e}(t)= \begin{cases} \frac{t}{2},&t\ge0,\\\\ -\frac{t}{2},&t<0, \end{cases} \qquad f_{o}(t)=\frac{t}{2}\quad(\text{para todo }t).

Passo 5

Descrição dos esboços:
  • f_{e}(t) é um “V” simétrico, crescendo com inclinação +\tfrac12 para t\ge0 e com inclinação -\tfrac12 para t<0.
  • f_{o}(t) é simplesmente uma reta através da origem com inclinação \tfrac12, ímpar pois satisfaz f_{o}(-t)=-f_{o}(t).

Resposta

f_{e}(t)= \begin{cases} \frac{t}{2},&t\ge0,\\\\ -\frac{t}{2},&t<0, \end{cases} \qquad f_{o}(t)=\frac{t}{2}.

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