Determine e esboce o dominio de cada
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se determine e esboce o domínio dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - A variável independente é o par
em .
O que é pedido: - Encontrar o conjunto de todos os pontos
nos quais a expressão faz sentido (ou seja, onde a raiz quadrada é definida como número real). - Indicar geometricamente esse conjunto no plano
.
Passo 2
Condição para a raiz quadrada ser um número real: a raiz quadrada de um número real está definida se, e somente se, o radicando for maior ou igual a zero. Em outras palavras, para
real vale a condição
Aplicando isso ao nosso caso, o radicando é
. Logo precisamos de
Aqui cada símbolo significa:
-
e são coordenadas reais de um ponto no plano; -
é o quadrado de , sempre não negativo; - a desigualdade
exige que seja zero ou positivo.
Passo 3
Resolver algebricamente a desigualdade
. Basta isolar
:
Portanto o domínio
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem essa desigualdade. Escrevendo em notação de conjuntos:
Passo 4
Interpretação prática (útil na prova): para cada valor fixo de
o valor de
pode variar de
até
. Em outras palavras, para todo
vale
Isso facilita construir o esboço: para cada horizontal (cada valor de
) marca-se o ponto
e sombreia-se para a direita.
Passo 5
Exemplos rápidos para ganhar intuição:
- Para
: a condição é . Então todos os pontos com estão no domínio (por exemplo está, não). - Para
: a condição é . Então não está no domínio, mas está. - Para
: a condição é . Então está (na fronteira) e também.
Passo 6
Como esboçar o domínio no plano
(passo a passo prático para a prova):
- Desenhe a curva de equação
. Essa é uma parábola com eixo paralelo ao eixo , vértice em , que se abre para a direita. - A região do domínio é TODA a parte do plano que fica à direita dessa parábola, incluindo a própria parábola (porque a desigualdade é
). Sombreie a região para a direita da parábola. - Indique que a fronteira
faz parte do domínio (pontos na fronteira dão radicando zero e ).
Passo 7
Propriedades úteis do domínio que podem ser pedidas ou usadas:
- O domínio é fechado (contém sua fronteira) e não é limitado para a direita (é ilimitado em
positivo). - O domínio é conectado (é uma região única contínua).
- A imagem da função está em
, porque a raiz quadrada só produz valores não negativos.