Determine e esboce o dominio de cada \psi(x, y)
q(x, y)=\sqrt{x-y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função \psi(x,y)=q(x,y)=\sqrt{x-y^{2}} e pede que se determine e esboce o domínio dessa função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é \sqrt{x-y^{2}}.
  • A variável independente é o par (x,y) em \mathbb{R}^{2}.
    O que é pedido:
  • Encontrar o conjunto de todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} nos quais a expressão faz sentido (ou seja, onde a raiz quadrada é definida como número real).
  • Indicar geometricamente esse conjunto no plano xy.

Passo 2

Condição para a raiz quadrada ser um número real: a raiz quadrada de um número real está definida se, e somente se, o radicando for maior ou igual a zero. Em outras palavras, para \sqrt{\,\cdot\,} real vale a condição
\text{radicando} \ge 0.
Aplicando isso ao nosso caso, o radicando é x-y^{2}. Logo precisamos de
x-y^{2}\ge 0.
Aqui cada símbolo significa:
  • x e y são coordenadas reais de um ponto no plano;
  • y^{2} é o quadrado de y, sempre não negativo;
  • a desigualdade \ge exige que x-y^{2} seja zero ou positivo.

Passo 3

Resolver algebricamente a desigualdade x-y^{2}\ge 0. Basta isolar x:
x \ge y^{2}.
Portanto o domínio D é o conjunto de todos os pares (x,y) que satisfazem essa desigualdade. Escrevendo em notação de conjuntos:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\ge y^{2}\}.

Passo 4

Interpretação prática (útil na prova): para cada valor fixo de y o valor de x pode variar de y^{2} até +\infty. Em outras palavras, para todo y\in\mathbb{R} vale
x\in[y^{2},+\infty).
Isso facilita construir o esboço: para cada horizontal (cada valor de y) marca-se o ponto x=y^{2} e sombreia-se para a direita.

Passo 5

Exemplos rápidos para ganhar intuição:
  • Para y=0: a condição é x\ge 0. Então todos os pontos (x,0) com x\ge 0 estão no domínio (por exemplo (1,0) está, ( -1,0) não).
  • Para y=1: a condição é x\ge 1. Então (0,1) não está no domínio, mas (2,1) está.
  • Para y=-2: a condição é x\ge 4. Então (4,-2) está (na fronteira) e (5,-2) também.

Passo 6

Como esboçar o domínio no plano xy (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe a curva de equação \;x=y^{2}\;. Essa é uma parábola com eixo paralelo ao eixo x, vértice em (0,0), que se abre para a direita.
  2. A região do domínio é TODA a parte do plano que fica à direita dessa parábola, incluindo a própria parábola (porque a desigualdade é \ge). Sombreie a região para a direita da parábola.
  3. Indique que a fronteira x=y^{2} faz parte do domínio (pontos na fronteira dão radicando zero e \sqrt{0}=0).

Passo 7

Propriedades úteis do domínio que podem ser pedidas ou usadas:
  • O domínio é fechado (contém sua fronteira) e não é limitado para a direita (é ilimitado em x positivo).
  • O domínio é conectado (é uma região única contínua).
  • A imagem da função está em [0,+\infty), porque a raiz quadrada só produz valores não negativos.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\ge y^{2}\}

Exercícios relacionados