Calcule o valor da integral múltipla: \iint_{D}^{\square} x^{2} d A, onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas parábolas x^{2}=y^{2} e x=8-y^{2}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{D} x^{2}\,dA, onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas dadas. Informações fornecidas:
A região D está no primeiro quadrante, logo x\ge0 e y\ge0.
As curvas que limitam D são x^{2}=y^{2} e x=8-y^{2}.
Precisamos encontrar a integral de x^{2} sobre essa região: isto é a área ponderada por x^{2}.
As perguntas implícitas são:
Determinar a região D explicitamente (interseções e limites).
Montar a integral dupla com limites corretos.
Calcular a integral e apresentar o resultado final (exato).
Passo 2
Entender a forma da região e escolher a ordem de integração.
Observações geométricas (no primeiro quadrante):
A equação x^{2}=y^{2} dá y=\pm x. No primeiro quadrante sobra a linha y=x.
A outra curva é x=8-y^{2}, uma parábola com eixo no sentido x-direto, simétrica em relação ao eixo y=0.
Para visualizar mentalmente: a linha y=x cresce; a parábola x=8-y^{2} tem x decrescendo quando |y| cresce. Essas duas interseccionam em algum ponto do primeiro quadrante. É conveniente integrar primeiro em x (de uma curva à outra) e depois em y (debaixo para cima), porque para um dado y a abscissa varia entre x=y e x=8-y^{2}.
Portanto a ordem escolhida é dx\,dy com
0\le y\le y_0,\qquad y\le x\le 8-y^{2},
onde y_0 é a coordenada y do ponto de interseção em primeiro quadrante.
Passo 3
Encontrar o ponto de interseção para obter y_0.
Na interseção temos x=y e x=8-y^{2}, então substituindo:
y = 8 - y^{2} \quad\Longrightarrow\quad y^{2}+y-8=0.
Resolvendo essa quadrática:
y = \frac{-1\pm\sqrt{1+32}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}.
Como estamos no primeiro quadrante escolhemos a raiz positiva:
e a integral é I=\dfrac{1}{3}\bigl[F(y_0)-F(0)\bigr]=\dfrac{1}{3}F(y_0) (pois F(0)=0).
Agora precisamos avaliar F(y_0). Em princípio isso exige calcular potências altas de y_0, mas observe que y_0 satisfaz a relação quadrática
y_0^{2}=8-y_0.
Isso permite reduzir qualquer potência y_0^{n} para uma combinação linear em 1 e y_0. Vamos calcular as potências necessárias (até y^{7}) usando a relação recursiva y^{n+1}=y\cdot y^{n} e substituindo sempre y^{2}=8-y.