Calcule o valor da integral múltipla:
\iint_{D}^{\square} x^{2} d A, onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas parábolas x^{2}=y^{2} e x=8-y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{D} x^{2}\,dA, onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas dadas. Informações fornecidas:
  • A região D está no primeiro quadrante, logo x\ge0 e y\ge0.
  • As curvas que limitam D são x^{2}=y^{2} e x=8-y^{2}.
  • Precisamos encontrar a integral de x^{2} sobre essa região: isto é a área ponderada por x^{2}.
As perguntas implícitas são:
  • Determinar a região D explicitamente (interseções e limites).
  • Montar a integral dupla com limites corretos.
  • Calcular a integral e apresentar o resultado final (exato).

Passo 2

Entender a forma da região e escolher a ordem de integração.
Observações geométricas (no primeiro quadrante):
  • A equação x^{2}=y^{2} y=\pm x. No primeiro quadrante sobra a linha y=x.
  • A outra curva é x=8-y^{2}, uma parábola com eixo no sentido x-direto, simétrica em relação ao eixo y=0.
Para visualizar mentalmente: a linha y=x cresce; a parábola x=8-y^{2} tem x decrescendo quando |y| cresce. Essas duas interseccionam em algum ponto do primeiro quadrante. É conveniente integrar primeiro em x (de uma curva à outra) e depois em y (debaixo para cima), porque para um dado y a abscissa varia entre x=y e x=8-y^{2}.
Portanto a ordem escolhida é dx\,dy com
0\le y\le y_0,\qquad y\le x\le 8-y^{2},
onde y_0 é a coordenada y do ponto de interseção em primeiro quadrante.

Passo 3

Encontrar o ponto de interseção para obter y_0.
Na interseção temos x=y e x=8-y^{2}, então substituindo:
y = 8 - y^{2} \quad\Longrightarrow\quad y^{2}+y-8=0.
Resolvendo essa quadrática:
y = \frac{-1\pm\sqrt{1+32}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}.
Como estamos no primeiro quadrante escolhemos a raiz positiva:
y_0 = \frac{-1+\sqrt{33}}{2}.
Logo a integral fica
\iint_{D} x^{2}\,dA = \int_{y=0}^{y_0}\int_{x=y}^{\,8-y^{2}} x^{2}\,dx\,dy.

Passo 4

Calcular a integral interna em x.
A primitiva de x^{2} em x é \dfrac{x^{3}}{3}. Assim
\int_{x=y}^{\,8-y^{2}} x^{2}\,dx = \left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{x=y}^{x=8-y^{2}} = \frac{(8-y^{2})^{3}}{3}-\frac{y^{3}}{3}.
Portanto a integral total é
\iint_{D} x^{2}\,dA = \int_{0}^{y_0} \left(\frac{(8-y^{2})^{3}}{3}-\frac{y^{3}}{3}\right) dy = \frac{1}{3}\int_{0}^{y_0}\bigl((8-y^{2})^{3}-y^{3}\bigr)dy.
Vamos expandir (8-y^{2})^{3} para integrar termo a termo:
(8-y^{2})^{3}=512-192y^{2}+24y^{4}-y^{6}.
Logo o integrando é
512-192y^{2}+24y^{4}-y^{6}-y^{3}.

Passo 5

Integrar termo a termo em y.
As primitivas são:
\int 512\,dy = 512y,\qquad \int -192y^{2}\,dy = -64y^{3},
\int 24y^{4}\,dy = \frac{24}{5}y^{5},\qquad \int -y^{6}\,dy = -\frac{y^{7}}{7},
\int -y^{3}\,dy = -\frac{y^{4}}{4}.
Assim, antes de dividir por 3,
F(y) = 512y-64y^{3}+\frac{24}{5}y^{5}-\frac{y^{7}}{7}-\frac{y^{4}}{4},
e a integral é I=\dfrac{1}{3}\bigl[F(y_0)-F(0)\bigr]=\dfrac{1}{3}F(y_0) (pois F(0)=0).
Agora precisamos avaliar F(y_0). Em princípio isso exige calcular potências altas de y_0, mas observe que y_0 satisfaz a relação quadrática
y_0^{2}=8-y_0.
Isso permite reduzir qualquer potência y_0^{n} para uma combinação linear em 1 e y_0. Vamos calcular as potências necessárias (até y^{7}) usando a relação recursiva y^{n+1}=y\cdot y^{n} e substituindo sempre y^{2}=8-y.
Cálculo passo a passo (usar a relação y^{2}=8-y):
y = y,
y^{2} = 8 - y,
y^{3} = y\cdot y^{2} = y(8-y)=8y-y^{2}=8y-(8-y)=9y-8,
y^{4}=y\cdot y^{3}=y(9y-8)=9y^{2}-8y=9(8-y)-8y=72-17y,
y^{5}=y\cdot y^{4}=y(72-17y)=72y-17y^{2}=72y-17(8-y)=89y-136,
y^{6}=y\cdot y^{5}=y(89y-136)=89y^{2}-136y=89(8-y)-136y=712-225y,
y^{7}=y\cdot y^{6}=y(712-225y)=712y-225y^{2}=712y-225(8-y)=937y-1800.
Agora substituímos essas expressões em F(y_0):
Colete os termos de F(y_0):
  • 512y_0 permanece.
  • -64y_0^{3} = -64(9y_0-8) = -576y_0+512.
  • \dfrac{24}{5}y_0^{5} = \dfrac{24}{5}(89y_0-136)=\dfrac{2136}{5}y_0-\dfrac{3264}{5}.
  • -\dfrac{y_0^{7}}{7} = -\dfrac{1}{7}(937y_0-1800) = -\dfrac{937}{7}y_0+\dfrac{1800}{7}.
  • -\dfrac{y_0^{4}}{4} = -\dfrac{1}{4}(72-17y_0) = -18+\dfrac{17}{4}y_0.
Somando os termos constantes e os coeficientes de y_0 separadamente:
Coeficiente de y_0:
512 -576 + \frac{2136}{5} -\frac{937}{7} +\frac{17}{4}.
Constantes:
512 -\frac{3264}{5} +\frac{1800}{7} -18.
Fazendo as somas racionais (cálculo aritmético direto) obtém-se
F(y_0) = \frac{32703}{140}\,y_0 + \frac{3442}{35}.

Passo 6

Dividir por 3 e simplificar, e substituir y_0=\dfrac{-1+\sqrt{33}}{2} para escrever o resultado exato.
Dividindo por 3:
I=\frac{1}{3}F(y_0)=\frac{32703}{420}y_0+\frac{3442}{105}.
Substituindo y_0=\dfrac{-1+\sqrt{33}}{2}:
I=\frac{32703}{420}\cdot\frac{-1+\sqrt{33}}{2}+\frac{3442}{105} = \frac{32703(-1+\sqrt{33})}{840}+\frac{3442}{105}.
Colocando em denominador comum 840 (já que \dfrac{3442}{105}=\dfrac{27536}{840}):
I=\frac{32703(-1+\sqrt{33})+27536}{840} = \frac{-32703+32703\sqrt{33}+27536}{840} = \frac{32703\sqrt{33}-5167}{840}.
Como verificação numérica rápida, isso vale aproximadamente
I\approx 217{,}4969433,
mas a forma exata é preferível.

Resposta

\dfrac{32703\sqrt{33}-5167}{840}

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