Calcule o valor da integral múltipla:
\iint_{D}^{\square} x^{2} d A,onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas parábolas x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{D} x^{2}\,dA,
onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=4. Informações dadas e o que se busca:
  • A região D fica no primeiro quadrante, ou seja \,x\ge0 e \,y\ge0.
  • As curvas \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=4 são círculos centrados na origem com raio 1 e 2, respectivamente.
  • Logo D é o setor anular (faixa entre dois círculos) no primeiro quadrante, entre os raios 1 e 2.
  • Precisamos calcular a integral da função x^{2} sobre essa região.

Passo 2

Escolha do método: como as fronteiras de D são círculos centrados na origem, convém usar coordenadas polares — isso simplifica muito os limites e o cálculo. Em coordenadas cartesianas a descrição da região e a integral seriam mais complicadas; em coordenadas polares os limites ficam constantes.

Passo 3

Lembrete e explicação das coordenadas polares:
  • Em coordenadas polares define-se x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge0 e \theta sendo o ângulo a partir do eixo x.
  • O elemento de área em polares vale dA = r\,dr\,d\theta. Explicação curta do porquê: um pequeno incremento \Delta r e um pequeno arco r\,\Delta\theta formam aproximadamente um retângulo de lados \Delta r e r\,\Delta\theta, então a área é (r\,\Delta\theta)(\Delta r), daí surge o fator r.
  • Como estamos no primeiro quadrante, \theta varia de 0 até \tfrac{\pi}{2}.
  • Como os círculos têm raios 1 e 2, temos r variando de 1 até 2.

Passo 4

Mudança da integranda e montagem da integral em polares:
  • Substituindo x=r\cos\theta obtemos x^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta.
  • Multiplicando pelo jacobiano r temos o integrando em polares:
x^{2}\,dA = r^{2}\cos^{2}\theta \cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta.
  • Portanto a integral sobre D fica
\iint_{D} x^{2}\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=1}^{2} r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta.

Passo 5

Separação e cálculo das integrais (produto de termos em r e \theta):
  • Como r^{3}\cos^{2}\theta é produto de uma função só de r e outra só de \theta, pode-se separar:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{1}^{2} r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta = \left(\int_{1}^{2} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta\right).
Calcule a integral em r:
\int_{1}^{2} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{4}-1^{4}}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}.
Calcule a integral em \theta. Use a identidade de redução de potência \cos^{2}\theta = \tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta + \frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{0}^{\pi/2}.
Agora avalia:
\left[\theta + \frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{0}^{\pi/2} = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(\pi)}{2}\right) - \left(0 + \frac{\sin 0}{2}\right) = \frac{\pi}{2}.
Multiplicando pelo \tfrac{1}{2}
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.

Passo 6

Multiplicando os resultados:
\iint_{D} x^{2}\,dA = \frac{15}{4}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{15\pi}{16}.

Resposta

\displaystyle \frac{15\pi}{16}

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