Calcule o valor da integral múltipla: \iint_{D}^{\square} x^{2} d A,onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas parábolas x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.
Passo 1
O enunciado pede a integral dupla
\iint_{D} x^{2}\,dA,
onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=4. Informações dadas e o que se busca:
A região D fica no primeiro quadrante, ou seja \,x\ge0 e \,y\ge0.
As curvas \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=4 são círculos centrados na origem com raio 1 e 2, respectivamente.
Logo D é o setor anular (faixa entre dois círculos) no primeiro quadrante, entre os raios 1 e 2.
Precisamos calcular a integral da função x^{2} sobre essa região.
Passo 2
Escolha do método: como as fronteiras de D são círculos centrados na origem, convém usar coordenadas polares — isso simplifica muito os limites e o cálculo. Em coordenadas cartesianas a descrição da região e a integral seriam mais complicadas; em coordenadas polares os limites ficam constantes.
Passo 3
Lembrete e explicação das coordenadas polares:
Em coordenadas polares define-se x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge0 e \theta sendo o ângulo a partir do eixo x.
O elemento de área em polares vale dA = r\,dr\,d\theta. Explicação curta do porquê: um pequeno incremento \Delta r e um pequeno arco r\,\Delta\theta formam aproximadamente um retângulo de lados \Delta r e r\,\Delta\theta, então a área é (r\,\Delta\theta)(\Delta r), daí surge o fator r.
Como estamos no primeiro quadrante, \theta varia de 0 até \tfrac{\pi}{2}.
Como os círculos têm raios 1 e 2, temos r variando de 1 até 2.
Passo 4
Mudança da integranda e montagem da integral em polares: