Determine e esboce o domínio de f das seguintes relações:
f(x, y)=\frac{1}{x y}

Passo 1

O enunciado pede para determinar e esboçar o domínio da função
f(x,y)=\frac{1}{x y}.
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita em termos de duas variáveis reais x e y.
  • O domínio será um subconjunto do plano \mathbb{R}^2.
  • Deve ser indicado também um esboço (gráfico) do conjunto de pontos (x,y) onde f está definida.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui? O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 para os quais a expressão que define a função tem sentido e produz um número real bem definido. Uma restrição clara na expressão \dfrac{1}{x y} é que não se pode dividir por zero: a expressão só existe quando o denominador é diferente de zero. Portanto, a condição necessária e suficiente para que f(x,y) esteja definida é
x y \neq 0.

Passo 3

Agora uso uma propriedade elementar de multiplicação: o produto de dois números reais é zero se, e somente se, pelo menos um dos fatores for zero. Em símbolos:
x y = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x=0)\\ \text{ou}\\ (y=0).
Negando essa equivalência obtemos
x y \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq 0 \\ \text{e}\\ y\neq 0.
Logo o domínio D da função é o conjunto de todos os pares (x,y) em que ambos os coordenados são diferentes de zero. Em notação de conjuntos isso pode ser escrito de formas equivalentes:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x y \neq 0\}
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0\\ \text{e}\\ y\neq 0\}
D=(\mathbb{R}\setminus\{0\})\times(\mathbb{R}\setminus\{0\}).

Passo 4

Para fixar a ideia, alguns exemplos rápidos:
  • (1,2) pertence a D porque 1\cdot 2=2\neq 0.
  • (0,1) não pertence a D porque 0\cdot 1=0 (a função não está definida).
  • (3,0) não pertence a D pelo mesmo motivo.
  • (-1,-2) pertence a D porque (-1)\cdot(-2)=2\neq 0.

Passo 5

Como esboçar o domínio no plano xy? Procedimento simples e visual:
  • Desenhar os eixos coordenados x-eixo (horizontal) e y-eixo (vertical).
  • Como todos os pontos com x=0 ou y=0 estão proibidos, risca-se (ou remove-se) os dois eixos.
  • O que resta são os quatro quadrantes abertos:
    • primeiro quadrante: x>0,\\ y>0;
    • segundo quadrante: x<0,\\ y>0;
    • terceiro quadrante: x<0,\\ y<0;
    • quarto quadrante: x>0,\\ y<0.
      Portanto o domínio é a união desses quatro quadrantes (todos os pontos exceto os eixos).

Passo 6

Observações finais úteis para prova (curtas e práticas):
  • Em linguagem de produto cartesiano: D=(\mathbb{R}\setminus\{0\})\times(\mathbb{R}\setminus\{0\}). Isso é rápido para escrever e reconhecer.
  • Geometricamente: é o plano com os eixos removidos — uma figura formada por quatro regiões desconexas (os quadrantes), sem incluir as fronteiras (os eixos).

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x y \neq 0\}=(\mathbb{R}\setminus\{0\})\times(\mathbb{R}\setminus\{0\}).

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