Determine e esboce o domínio de
das seguintes relações:
Passo 1
O enunciado pede para determinar e esboçar o domínio da função
Informações relevantes dadas:
- A função está escrita em termos de duas variáveis reais
e . - O domínio será um subconjunto do plano
. - Deve ser indicado também um esboço (gráfico) do conjunto de pontos
onde está definida.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui? O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define a função tem sentido e produz um número real bem definido. Uma restrição clara na expressão
é que não se pode dividir por zero: a expressão só existe quando o denominador é diferente de zero. Portanto, a condição necessária e suficiente para que
esteja definida é
Passo 3
Agora uso uma propriedade elementar de multiplicação: o produto de dois números reais é zero se, e somente se, pelo menos um dos fatores for zero. Em símbolos:
Negando essa equivalência obtemos
Logo o domínio
da função é o conjunto de todos os pares
em que ambos os coordenados são diferentes de zero. Em notação de conjuntos isso pode ser escrito de formas equivalentes:
Passo 4
Para fixar a ideia, alguns exemplos rápidos:
-
pertence a porque . -
não pertence a porque (a função não está definida). -
não pertence a pelo mesmo motivo. -
pertence a porque .
Passo 5
Como esboçar o domínio no plano
? Procedimento simples e visual:
- Desenhar os eixos coordenados
-eixo (horizontal) e -eixo (vertical). - Como todos os pontos com
ou estão proibidos, risca-se (ou remove-se) os dois eixos. - O que resta são os quatro quadrantes abertos:
- primeiro quadrante:
; - segundo quadrante:
; - terceiro quadrante:
; - quarto quadrante:
.
Portanto o domínio é a união desses quatro quadrantes (todos os pontos exceto os eixos).
- primeiro quadrante:
Passo 6
Observações finais úteis para prova (curtas e práticas):
- Em linguagem de produto cartesiano:
. Isso é rápido para escrever e reconhecer. - Geometricamente: é o plano com os eixos removidos — uma figura formada por quatro regiões desconexas (os quadrantes), sem incluir as fronteiras (os eixos).