Determine e esboce o domínio de f das seguintes relações:
f(x, y)=\frac{y}{x^{2}-y}

Passo 1

O enunciado pede para determinar e esboçar o domínio da função real de duas variáveis dada por f(x,y)=\dfrac{y}{x^{2}-y}.
Informações importantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{y}{x^{2}-y}.
  • É solicitado:
    • Encontrar o domínio (conjunto de pontos (x,y) em que a fórmula faz sentido como número real).
    • Esboçar esse domínio no plano (x,y).

Passo 2

O que significa “fazer sentido como número real” aqui? Para uma fração \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}} sobre os reais, a única restrição é que o denominador não pode ser zero. O numerador pode ser qualquer número real sem problema.
Aplicando isso à nossa função:
  • O numerador é y, que pode ser qualquer número real.
  • O denominador é x^{2}-y. Portanto devemos exigir que x^{2}-y\neq 0.

Passo 3

Resolver a condição de exclusão do denominador:
x^{2}-y\neq 0
equivalente a
y\neq x^{2}.
A equação y=x^{2} é a parábola usual que abre para cima; são exatamente os pontos que devem ser excluídos do domínio.

Passo 4

Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) em \mathbb{R}^{2} que não pertencem à parábola y=x^{2}. Em notação:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\neq x^{2}\}.
Ou, escrevendo como união de regiões:
D=\{(x,y)\mid y<x^{2}\}\cup\{(x,y)\mid y>x^{2}\}.
Explicação adicional útil para a prova: as duas partes \{y<x^{2}\} e \{y>x^{2}\} são conjuntos abertos no plano (porque a função g(x,y)=y-x^{2} é contínua e \{g>0\}, \{g<0\} são pré-imagens de intervalos abertos). Em cada uma dessas duas regiões f é uma função contínua (não há divisão por zero nelas).

Passo 5

Alguns exemplos concretos (para entender na prova):
  • O ponto (0,0) satisfaz y=x^{2} (pois 0=0^{2}), logo está excluído do domínio.
  • O ponto (1,0) tem x^{2}-y=1-0=1\neq0, logo pertence ao domínio e f(1,0)=0.
  • O ponto (0,1) tem x^{2}-y=0-1=-1\neq0, pertence ao domínio e f(0,1)=\dfrac{1}{-1}=-1.
  • O ponto (2,4) tem y=x^{2} (pois 4=2^{2}), está excluído.

Passo 6

Como esboçar (passo a passo, simples para a prova):
  1. Desenhe o plano cartesiano (x,y).
  2. Desenhe a parábola y=x^{2} (vértice em (0,0), abre para cima).
  3. Marque que a curva y=x^{2} deve ser removida (por exemplo tracejada ou riscá-la).
  4. Sombreie ou indique as duas regiões separadas pela parábola: a região abaixo da parábola (y<x^{2}) e a região acima da parábola (y>x^{2}). Ambas fazem parte do domínio.
    Observação prática: ao se aproximar de um ponto da parábola, |x^{2}-y| tende a zero e |f(x,y)| tende a infinito (exceto no ponto (0,0) onde tanto numerador quanto denominador tendem a zero ao mesmo tempo dependendo do caminho); isso mostra por que a parábola é uma “barreira” para a função.

Resposta

\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y\neq x^{2}\}=\{(x,y)\mid y<x^{2}\}\cup\{(x,y)\mid y>x^{2}\}

Exercícios relacionados