Determine e esboce o domínio de
das seguintes relações:
Passo 1
O enunciado pede para determinar e esboçar o domínio da função real de duas variáveis dada por
.
Informações importantes fornecidas:
- A função é
. - É solicitado:
- Encontrar o domínio (conjunto de pontos
em que a fórmula faz sentido como número real). - Esboçar esse domínio no plano
.
- Encontrar o domínio (conjunto de pontos
Passo 2
O que significa “fazer sentido como número real” aqui? Para uma fração
sobre os reais, a única restrição é que o denominador não pode ser zero. O numerador pode ser qualquer número real sem problema.
Aplicando isso à nossa função:
- O numerador é
, que pode ser qualquer número real. - O denominador é
. Portanto devemos exigir que .
Passo 3
Resolver a condição de exclusão do denominador:
equivalente a
A equação
é a parábola usual que abre para cima; são exatamente os pontos que devem ser excluídos do domínio.
Passo 4
Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares
em
que não pertencem à parábola
. Em notação:
Ou, escrevendo como união de regiões:
Explicação adicional útil para a prova: as duas partes
e
são conjuntos abertos no plano (porque a função
é contínua e
,
são pré-imagens de intervalos abertos). Em cada uma dessas duas regiões
é uma função contínua (não há divisão por zero nelas).
Passo 5
Alguns exemplos concretos (para entender na prova):
- O ponto
satisfaz (pois ), logo está excluído do domínio. - O ponto
tem , logo pertence ao domínio e . - O ponto
tem , pertence ao domínio e . - O ponto
tem (pois ), está excluído.
Passo 6
Como esboçar (passo a passo, simples para a prova):
- Desenhe o plano cartesiano
. - Desenhe a parábola
(vértice em , abre para cima). - Marque que a curva
deve ser removida (por exemplo tracejada ou riscá-la). - Sombreie ou indique as duas regiões separadas pela parábola: a região abaixo da parábola
e a região acima da parábola . Ambas fazem parte do domínio.
Observação prática: ao se aproximar de um ponto da parábola,tende a zero e tende a infinito (exceto no ponto onde tanto numerador quanto denominador tendem a zero ao mesmo tempo dependendo do caminho); isso mostra por que a parábola é uma “barreira” para a função.