Determine e esboce o domínio da função
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}} + \sqrt{y} $. Precisamos descobrir todos os valores de $ x $ e $ y $ que fazem essa função valer, ou seja, encontrar o domínio da função. Para isso, vamos analisar as partes da função que impõem restrições nos valores de $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, olhe a fração $ \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2} - y^{2}}} $. Para essa parte ser válida:
- O denominador $ \sqrt{16 - x^{2} - y^{2}} $ precisa existir e ser diferente de zero.
- Isso significa que o que está dentro da raiz quadrada deve ser positivo:
Simplificando: Isso representa todos os pontos $ (x, y) $ que estão dentro de um círculo de raio 4 (porque $ \sqrt{16} = 4 $) centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda parte da função: $ \sqrt{y} $. Para que essa raiz quadrada exista:
Ou seja, $ y $ precisa ser maior ou igual a zero.
Passo 4
Juntando as duas condições que encontramos:
- $ x^{2} + y^{2} < 16 $ (dentro do círculo de raio 4)
- $ y \geq 0 $ (metade superior do plano)
Isso significa que o domínio da função é a metade superior do círculo de raio 4 centrado na origem.
Passo 5
Para visualizar, imagine um círculo com raio 4 no plano $ xy $. O domínio da função é a parte de cima desse círculo, onde $ y $ é positivo ou zero. A parte de baixo, onde $ y $ seria negativo, não faz parte do domínio porque a raiz quadrada de $ y $ não existe para $ y < 0 $.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) $ é todos os pontos $ (x, y) $ que estão dentro do círculo de raio 4 centrado na origem e onde $ y $ é maior ou igual a zero. Em outras palavras:
Gráficamente, isso corresponde à metade superior do círculo de raio 4 no plano $ xy $.