Determine e esboce o domínio da função f se
f(x, y)=|x| e^{\frac{y}{x}}\

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=|x|\;e^{\frac{y}{x}}
ou seja, precisamos encontrar todos os pares (x,y) para os quais a expressão \frac{y}{x} está bem definida e o expoente real faz sentido.

Passo 2

A função |x| está definida para todo x\in\mathbb{R}, mas a fração \frac{y}{x} exige que x\neq0. Não há nenhuma outra restrição sobre y, já que e^{(\cdot)} aceita qualquer argumento real. Portanto
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq0\}.

Passo 3

Para esboçar o domínio, imagine o plano (x,y) e trace os eixos. Em seguida, risque (ou deixe em branco) a reta vertical x=0. O domínio são os dois semiplanos abertos:
  • à direita da reta x=0 (onde x>0),
  • e à esquerda da reta x=0 (onde x<0).

Resposta

\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq0\}.

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