Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f
f(x, y)=1+y^{2}-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a superfície
z=f(x,y)=1+y^{2}-x^{2}
usando as curvas de nível. O conteúdo aqui é reconhecimento de conicidade e visualização de superfícies quadráticas via interseções com planos horizontais.

Passo 2

Para uma constante k\in\mathbb{R}, a curva de nível é dada por
f(x,y)=k \quad\Longrightarrow\quad 1 + y^{2} - x^{2} = k \quad\Longrightarrow\quad y^{2}-x^{2} = k-1.
Esse é o traço da superfície com o plano z=k.

Passo 3

Analisando y^{2}-x^{2}=k-1:
– Se k-1>0, temos y^{2}-x^{2}=a^{2} com a^{2}=k-1, ou seja, hipérboles cujos eixos abrem na direção dos eixos y.
– Se k-1<0, escrevemos x^{2}-y^{2}=b^{2} com b^{2}=1-k, hipérboles agora abrindo na direção dos eixos x.
– Se k-1=0, isto é k=1, a “hipérbole” degenera em duas retas:
y^{2}-x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm x.

Passo 4

Escolhendo alguns valores de k:
- Para k=2 temos y^{2}-x^{2}=1: hipérboles abertas ao longo de y (contorno alto).
- Para k=1 temos y=\pm x: retas de nível (ponto de sela).
- Para k=0 temos x^{2}-y^{2}=1: hipérboles abertas ao longo de x (contorno baixo).
- Para k=-1 temos x^{2}-y^{2}=2: hipérboles mais “esticadas” ao longo de x.
No plano xy marcamos essas curvas e associamos a cada hipérbole o valor de z=k.

Passo 5

Interpretando em 3D:
– Para grandes |y|, z\approx y^{2}\to+\infty: superfície sobe ao longo do eixo y.
– Para grandes |x|, z\approx -\,x^{2}\to -\infty: superfície desce ao longo do eixo x.
Esse comportamento caracteriza um paraboloide hiperbólico em forma de sela, com ponto de sela em (0,0,1).

Resposta

O gráfico de z=1+y^{2}-x^{2} é um paraboloide hiperbólico (sela) centrado em (0,0,1), com concavidade para cima na direção y e para baixo na direção x.

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