Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a superfície
usando as curvas de nível. O conteúdo aqui é reconhecimento de conicidade e visualização de superfícies quadráticas via interseções com planos horizontais.
Passo 2
Para uma constante
, a curva de nível é dada por
Esse é o traço da superfície com o plano
.
Passo 3
Analisando
:
– Se , temos
com
, ou seja, hipérboles cujos eixos abrem na direção dos eixos
.
– Se , escrevemos
com
, hipérboles agora abrindo na direção dos eixos
.
– Se , isto é
, a “hipérbole” degenera em duas retas:
– Se
– Se
– Se
Passo 4
Escolhendo alguns valores de
:
- Para temos
: hipérboles abertas ao longo de
(contorno alto).
- Para temos
: retas de nível (ponto de sela).
- Para temos
: hipérboles abertas ao longo de
(contorno baixo).
- Para temos
: hipérboles mais “esticadas” ao longo de
.
- Para
- Para
- Para
- Para
No plano
marcamos essas curvas e associamos a cada hipérbole o valor de
.
Passo 5
Interpretando em 3D:
– Para grandes ,
: superfície sobe ao longo do eixo
.
– Para grandes ,
: superfície desce ao longo do eixo
.
Esse comportamento caracteriza um paraboloide hiperbólico em forma de sela, com ponto de sela em .
– Para grandes
– Para grandes
Esse comportamento caracteriza um paraboloide hiperbólico em forma de sela, com ponto de sela em
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide hiperbólico (sela) centrado em
, com concavidade para cima na direção
e para baixo na direção
.