Determine e esboce o domínio da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar e esboçar o domínio da função $ f(x, y) = \sin^{-1}(x + 1) $. Isso envolve entender onde essa função está definida, ou seja, para quais valores de $ x $ e $ y $ a função existe. Vamos usar conhecimentos de trigonometria e funções inversas para resolver.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a função $ \sin^{-1} $, também conhecida como arco-seno, só está definida para valores de entrada que estão no intervalo
. Isso significa que o que estiver dentro dela, no caso $ x + 1 $, precisa ser maior ou igual a
e menor ou igual a
.
Passo 3
Então, vamos estabelecer a condição:
Essa desigualdade garante que o argumento da função arco-seno esteja dentro do intervalo permitido.
Passo 4
Agora, vamos resolver a desigualdade para encontrar os valores de $ x $:
Subtraindo 1 de todos os lados:
Então, $ x $ deve estar entre
e
.
Passo 5
Perceba que a função $ f(x, y) $ só depende de $ x $, o que significa que para qualquer valor de $ y $, desde que $ x $ esteja no intervalo
, a função estará definida.
Passo 6
Para esboçar o domínio, imagine o plano $ xy $. O domínio será uma faixa vertical que vai de $ x = -2 $ até $ x = 0 $, se estendendo indefinidamente em ambas as direções de $ y $.
Resposta
O domínio da função $ f(x, y) = \sin^{-1}(x + 1) $ é todo par
onde $ x $ está entre
e
, ou seja: