Determine e esboce o domínio da função f(x, y)=3 x^2 yraiz2 y-4 x.

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio da função de duas variáveis f(x,y)=3x^2yraiz2y-4x e depois desenhar esse domínio. O conteúdo aqui é domínio de funções de duas variáveis, mais especificamente ligando a existência de uma raiz quadrada no denominador.

Passo 2

Para a parte de raiz quadrada, lembramos que o radicando precisa ser não negativo. Ou seja, devemos ter
2y-4x>=0
que implica
y>=2x

Passo 3

Como esse radical fica no denominador, não podemos ter divisão por zero. Logo, o radicando não pode ser zero, e sim estritamente positivo. Isso altera a desigualdade para
2y-4x>0
ou seja
y>2x

Passo 4

Concluímos que o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) tais que y>2x. No plano (x,y), isso corresponde ao semiplano aberto acima da reta y=2x. Ao esboçar, desenhe a reta y=2x tracejada (pois não incluímos a fronteira) e sombree a região acima dela.

Resposta

Domínio: D=(x,y)inR^2: y>2x, ou seja, o semiplano aberto acima da reta y=2x, como mostrado no esboço.

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