Em cada item, descreva a região em todas as seis possíveis ordens de variações dos parâmetros.
Região delimitada pelas superfícies x=2, y=2, z=0 e x+y-2 z=2.

Passo 1

O enunciado pede para descrever a região limitada pelas superfícies x=2, y=2, z=0 e x+y–2z=2 em todas as seis ordens de integração possíveis. O assunto aqui é geometria de regiões em R³ e mudança de ordem de integração em integrais triplas. Para isso vamos projetar a região nos planos coordenados e extrair os limites em cada ordem.

Passo 2

Ordem dz
dy
dx: primeiro z, depois y e depois x. Para um (x,y) na projeção no plano xy temos z variando entre a base z=0 e a face inclinada x+y–2z=2 ⇒ z=(x+y–2)/2. A projeção no xy é o triângulo definido por 0≤x≤2 e 2–x≤y≤2. Assim: 0≤x≤2, 2–x≤y≤2, 0≤z≤(x+y–2)/2.

Passo 3

Ordem dz
dx
dy: primeiro z, depois x, depois y. A projeção no plano xy é a mesma, mas agora y varia de 0 a 2 e, para cada y, x de 2–y até 2. Em seguida z de 0 até (x+y–2)/2. Ou seja: 0≤y≤2, 2–y≤x≤2, 0≤z≤(x+y–2)/2.

Passo 4

Ordem dy
dz
dx: primeiro y, depois z, depois x. Projetamos em xz: dada x entre 0 e 2, z vai de 0 até a interseção com y≤2, que dá z≤x/2. Para cada (x,z), y varia da face x+y–2z=2 ⇒ y=2+2z–x até y=2. Logo: 0≤x≤2, 0≤z≤x/2, 2+2z–x≤y≤2.

Passo 5

Ordem dy
dx
dz: primeiro y, depois x, depois z. Agora projetamos em xz com z externo: z varia de 0 até o valor máximo na aresta (2,2) ⇒ z≤1. Para cada z, x varia de 2z até 2 (para que exista y). E y vai de 2+2z–x até 2. Assim: 0≤z≤1, 2z≤x≤2, 2+2z–x≤y≤2.

Passo 6

Ordem dx
dz
dy: primeiro x, depois z, depois y. Projetamos em yz: y varia de 0 a 2 e, para cada y, z vai de 0 até y/2. Para cada (y,z), x vai da face x+y–2z=2 ⇒ x=2+2z–y até x=2. Ficamos com 0≤y≤2, 0≤z≤y/2, 2+2z–y≤x≤2.

Passo 7

Ordem dx
dy
dz: primeiro x, depois y, depois z. Por fim, projetamos em yz com z externo: z de 0 a 1, para cada z, y de 2z até 2 (para existir x). E x de 2+2z–y até 2. Logo: 0≤z≤1, 2z≤y≤2, 2+2z–y≤x≤2.

Resposta

Os seis conjuntos de limites de integração são:
Para dz dy dx:
0<= x<=2,2-x<= y<=2,0<= z<=x+y-22
Para dz dx dy:
0<= y<=2,2-y<= x<=2,0<= z<=x+y-22
Para dy dz dx:
0<= x<=2,0<= z<= x2,2+2z-x<= y<=2
Para dy dx dz:
0<= z<=1,2z<= x<=2,2+2z-x<= y<=2
Para dx dz dy:
0<= y<=2,0<= z<= y2,2+2z-y<= x<=2
Para dx dy dz:
0<= z<=1,2z<= y<=2,2+2z-y<= x<=2

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