Faça um esboço do gráfico da função
.
Passo 1
Resumo do enunciado e definição do conteúdo: temos a curva paramétrica
, e o objetivo é esboçar seu gráfico no plano. Vamos usar noções de curvas paramétricas e conversão para equação cartesiana, além de pontos característicos para guiar o esboço.
Passo 2
Obtenção da equação cartesiana: escrevemos as componentes como
e
. Usando
temos:
Isso mostra que a curva é uma elipse centrada em
, com semi-eixo horizontal de comprimento 2 e semi-eixo vertical de comprimento 4.
Passo 3
Identificação dos pontos cardeais: para traçar o contorno, avaliamos
em
:
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•
•
•
•
•
•
Passo 4
Esboço e orientação: no plano cartesiano, marque o centro
, depois os quatro pontos acima e ligue-os suavemente formando uma elipse. A orientação da trajetória, para
crescente de 0 a
, segue do ponto
para a direita descendo, isto é, no sentido horário.
Passo 5
Interpretação final do esboço: a elipse tem eixo maior vertical (de
até
) e eixo menor horizontal (de
até
). Adicione uma seta no contorno para indicar o sentido horário conforme
aumenta. Isso completa o esboço.
Resposta
A curva é uma elipse centrada em (0,–1), de semi-eixo horizontal 2 e semi-eixo vertical 4. Os pontos principais são (0,3), (2,–1), (0,–5) e (–2,–1). Ligue esses pontos formando uma elipse e desenhe uma seta no sentido horário para indicar o aumento de t.