Faça um esboço do gráfico da função r(t)=lang<= 2 sen(t), 4 cos(t)-1rang<=.

Passo 1

Resumo do enunciado e definição do conteúdo: temos a curva paramétrica r(t)=lang<= 2sin(t),,4cos(t)-1rang<=, e o objetivo é esboçar seu gráfico no plano. Vamos usar noções de curvas paramétricas e conversão para equação cartesiana, além de pontos característicos para guiar o esboço.

Passo 2

Obtenção da equação cartesiana: escrevemos as componentes como x=2sin(t) e y+1=4cos(t). Usando sin^2(t)+cos^2(t)=1 temos:
l(x2r)^2+l(y+14r)^2=1
Isso mostra que a curva é uma elipse centrada em (0,-1), com semi-eixo horizontal de comprimento 2 e semi-eixo vertical de comprimento 4.

Passo 3

Identificação dos pontos cardeais: para traçar o contorno, avaliamos r(t) em t=0,,tfracpi2,,pi,,tfrac3pi2,,2pi:
t=0:;(0,3)
t=tfracpi2:;(2,-1)
t=pi:;(0,-5)
t=tfrac3pi2:;(-2,-1)
t=2pi:;(0,3)

Passo 4

Esboço e orientação: no plano cartesiano, marque o centro (0,-1), depois os quatro pontos acima e ligue-os suavemente formando uma elipse. A orientação da trajetória, para t crescente de 0 a 2pi, segue do ponto (0,3) para a direita descendo, isto é, no sentido horário.

Passo 5

Interpretação final do esboço: a elipse tem eixo maior vertical (de -5 até 3) e eixo menor horizontal (de -2 até 2). Adicione uma seta no contorno para indicar o sentido horário conforme t aumenta. Isso completa o esboço.

Resposta

A curva é uma elipse centrada em (0,–1), de semi-eixo horizontal 2 e semi-eixo vertical 4. Os pontos principais são (0,3), (2,–1), (0,–5) e (–2,–1). Ligue esses pontos formando uma elipse e desenhe uma seta no sentido horário para indicar o aumento de t.

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