Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
f(x, y) = 1 / (9 x^2 + 4 y^2 - 18 x - 27)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a função e precisamos determinar o domínio dela. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x e y que deixam a função bem definida. Como nossa função é uma fração, a gente precisa garantir que o denominador nunca seja zero, porque divisão por zero não existe. Então, vamos focar em achar para quais valores de x e y o denominador não é igual a zero.

Passo 2

Vamos começar identificando quando o denominador é igual a zero:
Se conseguirmos resolver essa equação, saberemos exatamente onde a função não está definida. O objetivo é achar todos os pares (x, y) que não satisfazem essa equação.

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos completar o quadrado na parte que envolve x. Primeiro, vamos reescrever os termos:
Fatorando o 9 nos primeiros dois termos:
Agora, completamos o quadrado para x dentro dos parênteses:
Substituindo de volta na equação:
Distribuindo o 9:
Simplificando:

Passo 4

Vamos isolar os termos quadráticos:
Dividindo tudo por 36 para simplificar:

Passo 5

A equação representa uma elipse com centro no ponto , semi-eixo maior de comprimento 3 na direção y e semi-eixo menor de comprimento 2 na direção x. Isso significa que o denominador da nossa função original será zero exatamente nos pontos que estão sobre essa elipse.
Portanto, para que a função esteja definida, precisamos evitar todos esses pontos da elipse.

Resposta

O domínio da função é todos os pares (x, y) no plano real que não estão na elipse definida por . Em outras palavras, qualquer (x, y) que não satisfaça essa equação está no domínio da função.

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