Encontre a derivada direcional de f(x, y) = raiz(x^2 + 4xy) no ponto P(1, 1) e na direção do vetor v = (raiz(2) / 2, -raiz(2) / 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Aqui, vamos trabalhar com cálculo de derivadas parciais e a fórmula da derivada direcional. Precisamos achar as derivadas parciais de em relação a e , avaliar essas derivadas no ponto dado, e então usar a direção do vetor para encontrar a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função .
Para a derivada parcial em relação a :
Simplificando:
Para a derivada parcial em relação a :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Substituindo e em :
E em :

Passo 4

Agora, vamos montar o gradiente da função no ponto . O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:

Passo 5

A derivada direcional na direção do vetor é dada pelo produto escalar entre o gradiente e a direção unitária do vetor .
Primeiro, verificamos se já é um vetor unitário:
Então, já é unitário.

Passo 6

Agora, calculamos a derivada direcional:
Fazendo o produto escalar:
Podemos simplificar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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