Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde {C1, C2} ∈ R são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
h) f(x) = e^x [C1 cos(x) + C2 sen(x)] => y'' - 2y' + 2y = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função é solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) . Vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem e verificar se, ao substituir na EDO, a equação é satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de . Vamos precisar da primeira e segunda derivadas de .
A função é:
Vamos chamar de:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada usando a regra do produto:
Calculando e :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada novamente usando a regra do produto:

Passo 5

Agora que temos , e , vamos substituir na EDO:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar termo a termo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
Somando todos os termos:

Passo 7

Agora, vamos somar os coeficientes de cada termo:
  • Para :
  • Para :
Então, todos os termos se cancelam e temos:

Resposta

Sim, a função é solução geral da EDO , pois ao substituir na equação, obtemos uma identidade verdadeira.

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