Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar e esboçar o domínio da função
Informações relevantes fornecidas:
Não há outras restrições escritas no enunciado, então assumimos que
e
são números reais e que o domínio procurado é um subconjunto de
.
Passo 2
O que significa “domínio” aqui: para uma função de duas variáveis, o domínio é o conjunto de pontos
para os quais a expressão que define
faz sentido (ou seja, está bem definida e finita). Uma operação que impede definição é a divisão por zero. Portanto, precisamos impedir que o denominador se anule.
Passo 3
Escrevendo a condição de existência para
: o denominador não pode ser zero, isto é
Essa é a única restrição. Vamos entender a condição:
é equivalente a
. Então os pontos proibidos são exatamente aqueles em que as coordenadas são iguais.
Passo 4
Escrevendo o domínio em notação de conjuntos:
Uma forma equivalente, escrevendo a diagonal removida, é
Aqui
é a reta diagonal
no plano, chamada diagonal principal. O domínio é o plano inteiro com essa reta retirada.
Passo 5
Exemplos concretos para fixar a ideia:
Passo 6
Como esboçar o domínio no papel (passo a passo prático):
- Desenhe os eixos cartesianos
e . - Trace a reta
(linha a passando pela origem). - Indique essa reta como excluída: faça-a tracejada ou pinte-a de outra cor para mostrar que os pontos sobre ela NÃO pertencem ao domínio.
- Todos os pontos do plano que não estão sobre essa reta pertencem ao domínio; ou seja, tanto a região acima da reta quanto a região abaixo são permitidas.
Passo 7
Propriedade topológica útil (curiosidade e que às vezes cai em prova): o domínio
é um conjunto aberto em
. Rápida justificativa: para um ponto
com
, a distância até a reta
é
Tomando uma bola aberta de raio menor que essa distância, essa bola não intersecta a reta
, logo todo ponto tem alguma vizinhança contida em
, o que mostra que
é aberto. (Se preferir, memorize: retirar uma reta do plano deixa o restante aberto.)