Determine e esboce o domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\frac{1}{x-y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar e esboçar o domínio da função
f(x,y)=\frac{1}{x-y}.
Informações relevantes fornecidas:
\text{a função }f\text{ está dada por }f(x,y)=\frac{1}{x-y}.çãá
Não há outras restrições escritas no enunciado, então assumimos que x e y são números reais e que o domínio procurado é um subconjunto de \mathbb{R}^2.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui: para uma função de duas variáveis, o domínio é o conjunto de pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 para os quais a expressão que define f faz sentido (ou seja, está bem definida e finita). Uma operação que impede definição é a divisão por zero. Portanto, precisamos impedir que o denominador se anule.

Passo 3

Escrevendo a condição de existência para f: o denominador não pode ser zero, isto é
x-y \neq 0.
Essa é a única restrição. Vamos entender a condição: x-y\neq0 é equivalente a x\neq y. Então os pontos proibidos são exatamente aqueles em que as coordenadas são iguais.

Passo 4

Escrevendo o domínio em notação de conjuntos:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y\neq 0\}.
Uma forma equivalente, escrevendo a diagonal removida, é
D=\mathbb{R}^2\setminus\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.
Aqui \{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\} é a reta diagonal y=x no plano, chamada diagonal principal. O domínio é o plano inteiro com essa reta retirada.

Passo 5

Exemplos concretos para fixar a ideia:
\text{O ponto }(1,0)\text{ pertence a }D\text{ porque }1\neq0\text{ e }f(1,0)=\frac{1}{1-0}=1.
\text{O ponto }(2,2)\text{ não pertence a }D\text{ porque }2-2=0\text{ (divisão por zero)}.ãã

Passo 6

Como esboçar o domínio no papel (passo a passo prático):
  1. Desenhe os eixos cartesianos x e y.
  2. Trace a reta \,y=x\, (linha a 45^\circ passando pela origem).
  3. Indique essa reta como excluída: faça-a tracejada ou pinte-a de outra cor para mostrar que os pontos sobre ela NÃO pertencem ao domínio.
  4. Todos os pontos do plano que não estão sobre essa reta pertencem ao domínio; ou seja, tanto a região acima da reta quanto a região abaixo são permitidas.

Passo 7

Propriedade topológica útil (curiosidade e que às vezes cai em prova): o domínio D é um conjunto aberto em \mathbb{R}^2. Rápida justificativa: para um ponto (x_0,y_0) com x_0\neq y_0, a distância até a reta y=x é
\frac{|x_0-y_0|}{\sqrt{2}}>0.
Tomando uma bola aberta de raio menor que essa distância, essa bola não intersecta a reta y=x, logo todo ponto tem alguma vizinhança contida em D, o que mostra que D é aberto. (Se preferir, memorize: retirar uma reta do plano deixa o restante aberto.)

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y\neq 0\}
\text{ou}\quad D=\mathbb{R}^2\setminus\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Exercícios relacionados