Determine e esboce o maior conjunto no qual a função dada é contínua ( 29,38 )
f(x, y)=raizx+raiz1-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar e esboçar o maior conjunto no qual a função f(x,y)=raizx+raiz1 - x^2 - y^2 é contínua. O assunto aqui é análise de domínio e continuidade de funções de duas variáveis, e vamos usar que a raiz quadrada raizcdot só está definida para argumentos não-negativos e é contínua em todo o seu domínio.

Passo 2

Para que raizx exista, precisamos de x>=0. Para que raiz1 - x^2 - y^2 exista, é preciso 1 - x^2 - y^2>=0, isto é,
1 - x^2 - y^2 >= 0 Long<=ftrightarrow x^2 + y^2 <= 1

Passo 3

O domínio de definição (e, como veremos, de continuidade) é a interseção dessas condições:
D = (x,y)inR^2 : x>=0,;x^2+y^2<=1

Passo 4

Sabendo que a função raizcdot é contínua em [0,infty) e que a soma de funções contínuas também é contínua, concluímos que f é contínua em todo D.

Passo 5

Para esboçar D, desenhe o disco de raio 1 centrado na origem e tome apenas a metade com x>=0. Isso inclui a semicircunferência x^2+y^2=1,;x>=0 e o diâmetro sobre o eixo x>=0.

Resposta

O maior conjunto em que f é contínua é
(x,y)inR^2: x>=0,;x^2+y^2<=1,
o semidisco de raio 1 no semiplano x>=0, incluindo a borda circular e o diâmetro.

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