Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas:
-
para todo
,
-Assíntota vertical
,
se
ou
,
se
.
-Assíntota vertical
Passo 1
O enunciado pede o esboço de uma função f(x) que seja sempre crescente (isto é, com f’(x)>0 para x≠1), tenha assíntota vertical em x=1, e apresente concavidade para baixo (f’’<0) quando x<1 e x>3, mas concavidade para cima (f’’>0) em 1<x<3. Vamos usar conceitos de monotonicidade, assíntotas e concavidade para montar o esboço.
Passo 2
Como f’(x)>0 em todo ponto do domínio (que é (-∞,1)∪(1,∞)), f é estritamente crescente em cada ramo separado pela reta x=1. Isso nos diz que não haverá máximos nem mínimos locais, apenas dois ramos crescentes.
A condição de assíntota vertical x=1 implica que f(x)→+∞ quando x→1⁻ ou f(x)→−∞ quando x→1⁺. Como o ramo x<1 é crescente, devemos ter f(x)→+∞ ao bater em x=1 pela esquerda, e f(x)→−∞ ao chegar em x=1 pela direita.
A condição de assíntota vertical x=1 implica que f(x)→+∞ quando x→1⁻ ou f(x)→−∞ quando x→1⁺. Como o ramo x<1 é crescente, devemos ter f(x)→+∞ ao bater em x=1 pela esquerda, e f(x)→−∞ ao chegar em x=1 pela direita.
Passo 3
Para x<1 a concavidade é para baixo (f’’<0), então o ramo à esquerda de x=1 é crescente, mas vai “achatando” (a inclinação diminui) à medida que x se aproxima de 1.
No intervalo 1<x<3 a concavidade inverte para cima (f’’>0), de modo que o ramo logo após x=1 sai de −∞, cresce e vai se “abrindo” para cima até x=3.
No intervalo 1<x<3 a concavidade inverte para cima (f’’>0), de modo que o ramo logo após x=1 sai de −∞, cresce e vai se “abrindo” para cima até x=3.
Passo 4
Em x=3 há inflexão: a partir de 3 (x>3) voltamos a ter concavidade para baixo (f’’<0). O ramo continua crescente, mas agora “achatando” de novo conforme x→+∞.
Juntando tudo, desenhamos dois ramos: à esquerda de x=1 um curva crescente e côncava para baixo que vai de −∞ (em x→−∞ ou algum nº finito) até +∞ em x→1⁻; à direita de x=1 um ramo que sai de −∞, é crescente e côncavo para cima até x=3, sofre inflexão em 3 e segue crescente, côncavo para baixo, até o infinito.
Juntando tudo, desenhamos dois ramos: à esquerda de x=1 um curva crescente e côncava para baixo que vai de −∞ (em x→−∞ ou algum nº finito) até +∞ em x→1⁻; à direita de x=1 um ramo que sai de −∞, é crescente e côncavo para cima até x=3, sofre inflexão em 3 e segue crescente, côncavo para baixo, até o infinito.
Resposta
Esboço qualitativo: à esquerda de x=1, curva crescente e côncava para baixo que dispara para +∞ em x→1⁻; à direita de x=1, ramo crescente que invade de −∞, “abre” para cima até x=3 (inflexão) e depois “fecha” para baixo, continuando crescente para x→+∞.