Determine e esboce a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integrais.
\int_{0}^{1} \int_{1}^{e^{x}} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar e esboçar a região de integração D correspondente à integral
\int_{0}^{1}\int_{1}^{e^{x}}f(x,y)\,dy\,dx
e, em seguida, trocar a ordem de integração. O conteúdo envolve descrição de regiões no plano xy e resolução de desigualdades para inverter os limites.

Passo 2

A região
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;1\le y\le e^{x}\}
é delimitada abaixo pela reta horizontal y=1, acima pela curva y=e^{x}, e lateralmente pelas retas x=0 e x=1. Para esboçar, basta desenhar o gráfico de y=e^{x} de x=0 até x=1 (que vai de y=1 até y=e) e pintar a região entre essa curva e a linha y=1.

Passo 3

Para inverter a ordem, observamos que y varia de y=1 até y=e. Para um y fixo em [1,e], a condição y\le e^{x} equivale a
x \ge \ln(y),
e temos também x\le 1. Como y\ge1 implica \ln(y)\ge0, o limite x\ge0 já está garantido. Portanto, para cada y\in[1,e], x varia de \ln(y) até 1.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{1}^{e^{x}}f(x,y)\,dy\,dx =\int_{1}^{e}\int_{\ln(y)}^{1}f(x,y)\,dx\,dy.

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