Esboce a região de integração D e calcule a integral.
\int_{0}^{2} \int_{x^{2}}^{2 x}(4 x+2) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração D\subset\mathbb{R}^2 definida por
0\le x\le2,\quad x^2\le y\le2x
e, em seguida, calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{x^2}^{2x}(4x+2)\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de região em coordenadas cartesianas e cálculo de integral dupla por integração iterada.

Passo 2

Para esboçar D, observe que a fronteira inferior é a parábola y=x^2 e a fronteira superior é a reta y=2x. Elas se intersectam quando
x^2=2x\quad\Longrightarrow\quad x(x-2)=0\;\Rightarrow\;x=0\text{ ou }x=2.
Portanto, D é a região limitada por essas duas curvas para x variando de 0 a 2.

Passo 3

Vamos integrar primeiro em y:
\int_{x^2}^{2x}(4x+2)\,dy =(4x+2)\,\bigl[y\bigr]_{y=x^2}^{y=2x} =(4x+2)\bigl(2x - x^2\bigr).
Expandindo o produto, obtemos
(4x+2)(2x - x^2) =8x^2+4x-4x^3-2x^2 =6x^2+4x-4x^3.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}(6x^2+4x-4x^3)\,dx =\int_{0}^{2}6x^2\,dx+\int_{0}^{2}4x\,dx-\int_{0}^{2}4x^3\,dx.
Calculando cada termo:
\int_{0}^{2}6x^2\,dx =2x^3\Big|_{0}^{2} =16, \quad \int_{0}^{2}4x\,dx =2x^2\Big|_{0}^{2} =8, \quad \int_{0}^{2}4x^3\,dx =x^4\Big|_{0}^{2} =16.
Logo a integral total é
16 + 8 - 16 = 8.

Resposta

O valor da integral é 8.

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