Determine e esboce a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integrais.
\int_{0}^{1} \int_{2}^{4-2 x} f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado fornece a integral
\int_{0}^{1}\int_{2}^{4-2x}f(x,y)\,dy\,dx
e pede para determinar e esboçar a região de integração D e trocar a ordem de integração. O conteúdo aqui é geometria de regiões planas em integrais duplas e projeção sobre os eixos para inverter a ordem de integração.

Passo 2

Pela integral original,
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;2\le y\le4-2x\}.
Para que o limite superior faça sentido, precisamos de 4-2x\ge2, o que dá x\le1, já compatível com 0\le x\le1.

Passo 3

As fronteiras de D são as retas \,x=0, \,y=2 e \,y=4-2x. A reta y=4-2x intercepta o eixo y em (0,4) e, ao igualá-la a 2, em x=1. Logo D é o triângulo de vértices (0,2), (0,4) e (1,2).

Passo 4

Para trocar a ordem de integração, projetamos D no eixo y. Vê-se que y varia de 2 até 4. Para cada y fixo, x vai de x=0 até a reta y=4-2x, ou seja x=(4-y)/2. Assim
D=\{(x,y)\mid 2\le y\le4,\;0\le x\le\tfrac{4-y}{2}\}.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{2}^{4-2x}f(x,y)\,dy\,dx =\int_{2}^{4}\int_{0}^{\tfrac{4-y}{2}}f(x,y)\,dx\,dy.

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