Determine e esboce a região de integração
e troque a ordem de integração das seguintes integrais.
Passo 1
O enunciado fornece a integral
e pede para determinar e esboçar a região de integração
e trocar a ordem de integração. O conteúdo aqui é geometria de regiões planas em integrais duplas e projeção sobre os eixos para inverter a ordem de integração.
Passo 2
Pela integral original,
Para que o limite superior faça sentido, precisamos de
, o que dá
, já compatível com
.
Passo 3
As fronteiras de
são as retas
,
e
. A reta
intercepta o eixo
em
e, ao igualá-la a
, em
. Logo
é o triângulo de vértices
,
e
.
Passo 4
Para trocar a ordem de integração, projetamos
no eixo
. Vê-se que
varia de
até
. Para cada
fixo,
vai de
até a reta
, ou seja
. Assim